問題7は整数540について以下の問いに答える問題です。 (1) 540の正の約数は全部でいくつあるか。 (2) 540の正の約数の総和を求めよ。 問題8は次の式を展開したときの項の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題7は整数540について以下の問いに答える問題です。

(1) 540の正の約数は全部でいくつあるか。

(2) 540の正の約数の総和を求めよ。

問題8は次の式を展開したときの項の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題7(1)について:

まず、540を素因数分解します。

$540 = 2 \times 270 = 2 \times 3 \times 90 = 2 \times 3 \times 3 \times 30 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 10 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

よって、$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5^1$です。

約数の個数は、各素因数の指数に1を足して掛け合わせたものです。

$(2+1) \times (3+1) \times (1+1) = 3 \times 4 \times 2 = 24$

問題7(2)について:

約数の総和は、各素因数について、$1 + p + p^2 + \cdots + p^n$を計算し、それらを掛け合わせます。

$(1+2+2^2) \times (1+3+3^2+3^3) \times (1+5) = (1+2+4) \times (1+3+9+27) \times (1+5) = (7) \times (40) \times (6) = 7 \times 240 = 1680$

問題8について：

問題文が不完全でどのような式か不明であるため、解答できません。画像には $3 \times 4 \times 2 = 24$ とあるため、問題7(1)の解法を応用する可能性があります。

3. 最終的な答え

問題7(1)の答え: 24

問題7(2)の答え: 1680

問題8の答え: 問題文が不完全で解答できません。