関数列 $\{T_n(x)\}$ が以下の条件で定義される。 $T_1(x) = x$, $T_2(x) = 2x^2 - 1$, $T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)$ ($n \ge 3$) (1) $T_n(x)$ が $x$ の $n$ 次式であることを示せ。 (2) $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$ であることを示せ。

1. 問題の内容

関数列 $\{T_n(x)\}$ が以下の条件で定義される。

$T_1(x) = x$, $T_2(x) = 2x^2 - 1$, $T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)$ ($n \ge 3$)

(1) $T_n(x)$ が $x$ の $n$ 次式であることを示せ。

(2) $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$ であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法を用いて、$T_n(x)$ が $x$ の $n$ 次式であることを示す。

[1] $n=1, 2$ のとき

$T_1(x) = x$ は $x$ の1次式であり、$T_2(x) = 2x^2 - 1$ は $x$ の2次式であるから、$n=1, 2$ のとき成立する。

[2] $n=k, k-1$ ($k \ge 2$) のとき、$T_k(x)$ が $x$ の $k$ 次式、$T_{k-1}(x)$ が $x$ の $k-1$ 次式であると仮定する。このとき、

$T_{k+1}(x) = 2xT_k(x) - T_{k-1}(x)$

$2xT_k(x)$ は $x$ の $k+1$ 次式であり、$T_{k-1}(x)$ は $x$ の $k-1$ 次式であるから、$T_{k+1}(x)$ は $x$ の $k+1$ 次式である。

したがって、数学的帰納法により、$T_n(x)$ は $x$ の $n$ 次式である。

(2) 数学的帰納法を用いて、$T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$ を示す。

[1] $n=1, 2$ のとき

$T_1(\cos\theta) = \cos\theta$ より、$T_1(\cos\theta) = \cos(1\theta)$ が成り立つ。

$T_2(\cos\theta) = 2\cos^2\theta - 1 = \cos(2\theta)$ より、$T_2(\cos\theta) = \cos(2\theta)$ が成り立つ。

[2] $n=k, k-1$ ($k \ge 2$) のとき、$T_k(\cos\theta) = \cos(k\theta)$、$T_{k-1}(\cos\theta) = \cos((k-1)\theta)$ であると仮定する。このとき、

$T_{k+1}(\cos\theta) = 2\cos\theta T_k(\cos\theta) - T_{k-1}(\cos\theta)$

$= 2\cos\theta \cos(k\theta) - \cos((k-1)\theta)$

三角関数の加法定理より、

$\cos((k+1)\theta) + \cos((k-1)\theta) = 2\cos\theta \cos(k\theta)$

であるから、

$T_{k+1}(\cos\theta) = \cos((k+1)\theta) + \cos((k-1)\theta) - \cos((k-1)\theta) = \cos((k+1)\theta)$

したがって、数学的帰納法により、$T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $T_n(x)$ は $x$ の $n$ 次式である。

(2) $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$ である。