確率変数 $X$ が正規分布 $N(30, 4^{2})$ に従うとき、次の確率を求めよ。 (1) $P(X \le 30)$ (2) $P(30 \le X \le 38)$ (3) $P(38 \le X \le 42)$ (4) $P(22 \le X \le 26)$ (5) $P(20 \le X \le 35)$ (6) $P(X \ge 35)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(30, 4^{2})$ に従うとき、次の確率を求めよ。

(1) $P(X \le 30)$

(2) $P(30 \le X \le 38)$

(3) $P(38 \le X \le 42)$

(4) $P(22 \le X \le 26)$

(5) $P(20 \le X \le 35)$

(6) $P(X \ge 35)$

2. 解き方の手順

$X$ は正規分布 $N(30, 4^{2})$ に従うので、$Z = \frac{X - 30}{4}$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。

(1) $P(X \le 30) = P(\frac{X-30}{4} \le \frac{30-30}{4}) = P(Z \le 0) = 0.5$

(2) $P(30 \le X \le 38) = P(\frac{30-30}{4} \le \frac{X-30}{4} \le \frac{38-30}{4}) = P(0 \le Z \le 2) = P(Z \le 2) - P(Z \le 0) = 0.9772 - 0.5 = 0.4772$

(3) $P(38 \le X \le 42) = P(\frac{38-30}{4} \le \frac{X-30}{4} \le \frac{42-30}{4}) = P(2 \le Z \le 3) = P(Z \le 3) - P(Z \le 2) = 0.9987 - 0.9772 = 0.0215$

(4) $P(22 \le X \le 26) = P(\frac{22-30}{4} \le \frac{X-30}{4} \le \frac{26-30}{4}) = P(-2 \le Z \le -1) = P(1 \le Z \le 2) = P(Z \le 2) - P(Z \le 1) = 0.9772 - 0.8413 = 0.1359$

(5) $P(20 \le X \le 35) = P(\frac{20-30}{4} \le \frac{X-30}{4} \le \frac{35-30}{4}) = P(-2.5 \le Z \le 1.25) = P(Z \le 1.25) - P(Z \le -2.5) = P(Z \le 1.25) - (1 - P(Z \le 2.5)) = 0.8944 - (1 - 0.9938) = 0.8944 - 0.0062 = 0.8882$

(6) $P(X \ge 35) = P(\frac{X-30}{4} \ge \frac{35-30}{4}) = P(Z \ge 1.25) = 1 - P(Z \le 1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056$

3. 最終的な答え

(1) 0.5

(2) 0.4772

(3) 0.0215

(4) 0.1359

(5) 0.8882

(6) 0.1056