問題１は、"nobunaga"の8文字を並べ替える場合の数と、"u"の左に少なくとも1つの"a"がある場合の数を求める問題です。 問題２は、O地点から出発し、A地点（またはB地点）を通ってP地点まで最短距離で行く場合の数、およびA地点とB地点の両方を通ってP地点まで最短距離で行く場合の数を求める問題です。ただし、C地点は通れないものとし、同じ道を何度通ってもよいとします。

1. 問題の内容

問題１は、"nobunaga"の8文字を並べ替える場合の数と、"u"の左に少なくとも1つの"a"がある場合の数を求める問題です。

問題２は、O地点から出発し、A地点（またはB地点）を通ってP地点まで最短距離で行く場合の数、およびA地点とB地点の両方を通ってP地点まで最短距離で行く場合の数を求める問題です。ただし、C地点は通れないものとし、同じ道を何度通ってもよいとします。

2. 解き方の手順

問題１：

(ア) "nobunaga"の8文字の並べ方は、同じ文字がいくつかあるので、順列の公式を利用します。

n, o, b, u, n, a, g, a

nが2つ、aが2つあるので、全体の並べ方は、

$\frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10080$通りです。

(イ) "u"の左に少なくとも1つの"a"がある並べ方の数を求めます。これは、全体の場合の数から、"u"の左に"a"がない場合（つまり、"u"が一番左にあるか、"u"の左には"a"以外の文字がある場合）を引くことで計算できます。

一旦、uとaを区別しないとして、uが先頭に来る並べ方の数は、$\frac{7!}{2!} = 2520$ 通りです。

uの左にaがないときは、aが先頭にくるときも除く必要があります。aが先頭に来る並べ方の数も同様に2520通り。

uが一番左に来る場合: u _ _ _ _ _ _ この並び方は、残りの7文字を並べるので $\frac{7!}{2!} = 2520$通り

しかし、aが先頭にくるときもあるため、このままでは計算できない。

一旦、uの左に少なくとも一つのaがある場合を考えるのではなく、uの左にaがない場合を考えて全体から引く。

uの左にaがない場合というのは、uが一番左にある場合、またはuの左にa以外の文字がある場合。

ここで、余事象を考えると、uの左にaがない場合を考える。

uの左にaがない場合は、全体からuの左にaがない場合を引けば良い。

まず、uが一番左に来る場合を考える。残りの7文字の並び方は、$\frac{7!}{2!} = 2520$

全体の並び方からこれを引くと、少なくともuの左にaがある場合の数になる。

$10080 - 2520 = 7560$

または、aとuをまとめて一つの文字として考え、それ以外の文字を並べた後に、aとuを挿入する。

aとuをセットで考えると、それをXとして、n,o,b,n,a,g,Xの7文字を並べる。

Xをauまたはuaと考えると、auの場合とuaの場合がある。

しかし、uaの場合だと、uの左にaがないので、auの場合のみを考える。

まず、7文字を並べると$\frac{7!}{2!} = 2520$

この並び方で、aとuの位置を考慮して計算するのは難しい。

問題２：

(1) O地点からA地点までの最短経路は、右に1回、上に2回進むので、$\frac{3!}{1!2!} = 3$通りです。

A地点からP地点までの最短経路は、右に4回、上に3回進むので、$\frac{7!}{4!3!} = \frac{7\times6\times5}{3\times2\times1} = 35$通りです。

したがって、O地点からA地点を経由してP地点まで最短距離で行く経路は、 $3 \times 35 = 105$通りです。

(2) O地点からB地点までの最短経路は、右に4回、上に1回進むので、$\frac{5!}{4!1!} = 5$通りです。

B地点からP地点までの最短経路は、右に1回、上に5回進むので、$\frac{6!}{1!5!} = 6$通りです。

したがって、O地点からB地点を経由してP地点まで最短距離で行く経路は、 $5 \times 6 = 30$通りです。

(3) O地点からA地点を通りB地点を通ってP地点まで行く最短経路の数を求めます。ただし、C地点は通れません。

まず、OからAに行く経路は3通り。

次にAからBに行く経路を考える。AからBに行くには、右に3回、下に1回行く必要がある。つまり、$\frac{4!}{3!1!} = 4$通り。

しかし、このうちC地点を通る経路は存在しないため、4通りすべて有効。

最後に、BからPに行く経路は、右に1回、上に5回進むので、$\frac{6!}{1!5!} = 6$通り。

よって、OからAを通りBを通ってPに行く経路は$3 \times 4 \times 6 = 72$通り。

3. 最終的な答え

問題１：

(ア) 10080 通り

(イ) 7560 通り

問題２：

(1) 105 通り

(2) 30 通り

(3) 72 通り