1から7までの番号が書かれた白い球と赤い球がそれぞれ7個ずつ箱に入っている。この箱から球を1個ずつ順に4個取り出す。取り出した球は元に戻さない。 (1) 3番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率を求める。 (2) 4番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率を求める。 (3) 取り出した4個の球の中に、同じ番号の白い球と赤い球の組がちょうど1組だけ含まれる確率を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答します。

1. 問題の内容

1から7までの番号が書かれた白い球と赤い球がそれぞれ7個ずつ箱に入っている。この箱から球を1個ずつ順に4個取り出す。取り出した球は元に戻さない。

(1) 3番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率を求める。

(2) 4番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率を求める。

(3) 取り出した4個の球の中に、同じ番号の白い球と赤い球の組がちょうど1組だけ含まれる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3番目に初めて同じ番号の白い球と赤い球が揃う確率

1回目、2回目は同じ数字が出ない必要があります。

全事象は、$14 \times 13 \times 12$ 通り。

1回目の選び方は14通り。

2回目の選び方は、1回目に出た数字の同色の球と異なる数字なので、12通り。

3回目の選び方は、1回目と2回目の数字とは異なる数字の同色なので、2通り。

したがって、確率は

$\frac{14 \times 12 \times 2}{14 \times 13 \times 12} = \frac{2}{13}$

(2) 4番目に初めて同じ番号の白い球と赤い球が揃う確率

1回目、2回目、3回目は同じ数字が出ない必要があります。

全事象は、$14 \times 13 \times 12 \times 11$ 通り。

1回目の選び方は14通り。

2回目の選び方は、1回目に出た数字の同色の球と異なる数字なので、12通り。

3回目の選び方は、1回目と2回目の数字とは異なる数字なので、10通り。

4回目の選び方は、1回目、2回目、3回目の数字とは異なる数字の同色なので、2通り。

したがって、確率は

$\frac{14 \times 12 \times 10 \times 2}{14 \times 13 \times 12 \times 11} = \frac{20}{143}$

(3) 取り出した4個の球の中に、同じ番号の白い球と赤い球の組がちょうど1組だけ含まれる確率

4個の中からどの球が同じ番号の組になるか選ぶ必要があります。4通りあります。

例として1番目に同じ番号の組が出るとします。

$_6 P_3$ = 6 * 5 * 4 = 120

同じ番号の組は7組の中から1つ選びます。

残りの3つの球は、同じ番号にならないように選びます。

同じ番号の組が出る確率は、$\frac{7}{_{14}C_1}$

残り3つで組ができないように選ぶ。

残りは12個、10個、8個と減っていきます。

したがって$7 \times 12 \times 10 \times 8$通り。

全事象は、$_{14}P_4 = 14 \times 13 \times 12 \times 11$

求める確率は$\frac{4 \times 7 \times 12 \times 10 \times 8}{14 \times 13 \times 12 \times 11} = \frac{320}{1001}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{13}$

(2) $\frac{20}{143}$

(3) $\frac{320}{1001}$