問題は、格子状の道路網における最短経路の数を求めるものです。具体的には、O地点から出発し、与えられた地点（A, B, P）を経由してP地点に最短距離で到達する経路の数を求めます。ただし、C地点は通ることができません。

はい、この問題を解きましょう。

1. 問題の内容

問題は、格子状の道路網における最短経路の数を求めるものです。具体的には、O地点から出発し、与えられた地点（A, B, P）を経由してP地点に最短距離で到達する経路の数を求めます。ただし、C地点は通ることができません。

2. 解き方の手順

(1) O地点を出発し、A地点を通り、P地点へ最短距離で行く道順の数

* OからAまでの最短経路の数を求めます。これは、右に2回、上に3回移動するので、$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = 10$ 通りです。

* AからPまでの最短経路の数を求めます。これは、右に3回、上に1回移動するので、$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$ 通りです。

* したがって、OからAを経由してPまでの最短経路の数は、 $10 \times 4 = 40$ 通りです。

(2) O地点を出発し、B地点を通り、P地点へ最短距離で行く道順の数

* OからBまでの最短経路の数を求めます。これは、右に1回、下に2回移動するので、$\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!2!} = 3$ 通りです。

* BからPまでの最短経路の数を求めます。これは、右に4回、上に3回移動するので、$\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!3!} = 35$ 通りです。

* したがって、OからBを経由してPまでの最短経路の数は、 $3 \times 35 = 105$ 通りです。

(3) O地点を出発し、A地点とB地点の両方を通って、P地点へ最短距離で行く道順の数

* まず、OからAを経由してBに行く最短経路は存在しないことに注意してください。なぜなら、AはBより北に位置しており、最短経路は常に上または右に進むため、AからBには行けません。したがって、AとBの両方を通るためには、まずAに行き、その後Bに行き、そこからPに行くか、またはまずBに行き、その後Aに行き、そこからPに行く必要があります。

* まずAを経由し、その後Bを経由してPに行く経路は存在しません。(OからAに行くのは確定ですが、Aから最短経路でBに行くことはできないため)

* 次にBを経由し、その後Aを経由してPに行く経路を考えます。BからAに行くにも、最短経路では行けないため、考え方を変えます。

* AとBの両方を通る経路は、まずAに行き、その後Bに行き、そこからPに行く、またはまずBに行き、その後Aに行き、そこからPに行く、のどちらかの経路になります。

* O→Aの経路は$\binom{5}{2} = 10$通り。

* A→Pの経路は$\binom{4}{3} = 4$通り。

* O→Bの経路は$\binom{3}{1} = 3$通り。

* B→Pの経路は$\binom{7}{4} = 35$通り。

問題文をよく読むと、「同じ道を何度通ってもよいとする」と書かれているので、最短経路を通る必要はありません。したがって、OからAへ行き、AからBへ行き、BからPへ行く経路、またはOからBへ行き、BからAへ行き、AからPへ行く経路も考慮する必要があります。

* OからAへの経路は10通り。AからBへ行く経路は、AからOへ戻り、OからBへ行くことで可能になります。AからOへ行く経路は1通り、OからBへ行く経路は3通りなので、AからBへ行く経路は3通り。BからPへ行く経路は35通りなので、O→A→B→Pの経路は$10 \times 3 \times 35 = 1050$通り。

* OからBへの経路は3通り。BからAへ行く経路は、BからOへ戻り、OからAへ行くことで可能になります。BからOへ行く経路は1通り、OからAへ行く経路は10通りなので、BからAへ行く経路は10通り。AからPへ行く経路は4通りなので、O→B→A→Pの経路は$3 \times 10 \times 4 = 120$通り。

* したがって、OからAとBの両方を通ってPへ行く経路は$1050 + 120 = 1170$通りになります。

ただし、C地点を通れないという条件を考慮する必要があります。

(1)(2)の結果がそのまま答えになります。

(3)A地点とB地点の両方を通る最短経路はないので、0通りです。

3. 最終的な答え

(1) 40通り

(2) 105通り

(3) 0通り