問題1: "nobunaga"の8文字すべてを1列に並べる場合の数と、そのうち'u'の左に少なくとも1つの'a'がある場合の数を求める問題。 問題2: 地図上のO地点からP地点へ、指定された地点を経由する最短経路の数を求める問題。C地点は通れない。

1. 問題の内容

問題1: "nobunaga"の8文字すべてを1列に並べる場合の数と、そのうち'u'の左に少なくとも1つの'a'がある場合の数を求める問題。

問題2: 地図上のO地点からP地点へ、指定された地点を経由する最短経路の数を求める問題。C地点は通れない。

2. 解き方の手順

問題1:

(ア) "nobunaga" の8文字を並べる総数:

8文字のうち、'n'が1つ、'o'が1つ、'b'が1つ、'u'が1つ、'g'が1つ、'a'が2つあります。

したがって、並べ方の総数は $8!/2! = 40320/2 = 20160$ 通りです。

(イ) 'u'の左に少なくとも1つの'a'がある場合の数:

まず、'u'の左に'a'がない場合、つまり'u'がすべての'a'よりも左にある場合を考えます。

'u'と2つの'a'を区別しない文字（例えば、'x'）として扱い、"nobxngx"の7文字を並べることを考えます。

この並べ方の総数は $7! = 5040$ 通りです。

このうち、'n'が2つあるので、$7! = 5040$通りの並び方は、$7!/2! = 2520$通りです。

この2520通りのそれぞれの並び方に対して、3つのxの位置に、左からa, a, uを代入すると、uがaよりも左にある並び方が求められます。

したがって、uがaよりも左にある並び方は $7! = 5040$通りです。

したがって、'u'の左に少なくとも1つの'a'がある場合の数は、全体の並べ方から'u'がすべての'a'よりも左にある場合を引けばよいので、

$20160 - 5040 = 15120$通りです。

問題2:

(1) O→A→Pの最短経路:

OからAへの最短経路は、右に2回、上に2回進むので、$_4C_2 = 6$通り。

AからPへの最短経路は、右に3回、上に2回進むので、$_5C_2 = 10$通り。

したがって、O→A→Pの最短経路は $6 \times 10 = 60$ 通り。

(2) O→B→Pの最短経路:

OからBへの最短経路は、右に2回、下に1回進むので、$_3C_1 = 3$通り。

BからPへの最短経路は、右に3回、上に3回進むので、$_6C_3 = 20$通り。

したがって、O→B→Pの最短経路は $3 \times 20 = 60$ 通り。

(3) O→AとBの両方を通る→Pの最短経路:

まずOからAに最短で行き、そこからBに行き、Pに行く最短経路の数とOからBに最短で行き、そこからAに行き、Pに行く最短経路の数を求める。

O→Aへの最短経路は6通り。

O→Bへの最短経路は3通り。

O→A (6通り) →B :　AからBに行くためには、右に0回、下に3回移動する必要がある。C地点を通らずにAからBに行くことは不可能なので、この経路は存在しない。

O→B(3通り) →A: BからAに行くためには、左に0回、上に3回移動する必要がある。 C地点を通らずにBからAに行くことは不可能なので、この経路は存在しない。

AにもBにも行かないと行けないという条件を無視して、AまたはBを通る経路の数を数える。

OからAまたはBを通ってPに行く経路の数を求める。

O→A→Pの経路の数は60通り。

O→B→Pの経路の数は60通り。

したがって、AまたはBを通る経路の数は $60+60=120$通り。

3. 最終的な答え

問題1:

ア: 20160 通り

イ: 15120 通り

問題2:

(1) 60通り

(2) 60通り

(3) 0通り