1から5までの数字が書かれた5枚のカードから同時に2枚を取り出す。取り出した2つの数字のうち大きい方を $X$ 、大きい方から小さい方を引いた数を $Y$ とするとき、$X$ の期待値 $E(X)$ と $Y$ の期待値 $E(Y)$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

1から5までの数字が書かれた5枚のカードから同時に2枚を取り出す。取り出した2つの数字のうち大きい方を $X$ 、大きい方から小さい方を引いた数を $Y$ とするとき、$X$ の期待値 $E(X)$ と $Y$ の期待値 $E(Y)$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(7) $X$ の期待値 $E(X)$ を求める。

まず、2枚のカードの選び方は全部で ${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りである。

$X$ が 2, 3, 4, 5 となる確率をそれぞれ計算する。

- $X=2$ となるのは、(1, 2) の組み合わせのときなので、確率は $\frac{1}{10}$

- $X=3$ となるのは、(1, 3), (2, 3) の組み合わせのときなので、確率は $\frac{2}{10}$

- $X=4$ となるのは、(1, 4), (2, 4), (3, 4) の組み合わせのときなので、確率は $\frac{3}{10}$

- $X=5$ となるのは、(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5) の組み合わせのときなので、確率は $\frac{4}{10}$

したがって、$X$ の期待値は

$E(X) = 2 \times \frac{1}{10} + 3 \times \frac{2}{10} + 4 \times \frac{3}{10} + 5 \times \frac{4}{10} = \frac{2 + 6 + 12 + 20}{10} = \frac{40}{10} = 4$

(8) $Y$ の期待値 $E(Y)$ を求める。

$Y$ は2つの数の差なので、$Y = X - (\text{小さい方の数})$となる。

$Y$ の取りうる値は 1, 2, 3, 4 である。

$Y$ が 1, 2, 3, 4 となる確率をそれぞれ計算する。

- $Y=1$ となる組み合わせは (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5) の4通りなので、確率は $\frac{4}{10}$

- $Y=2$ となる組み合わせは (1, 3), (2, 4), (3, 5) の3通りなので、確率は $\frac{3}{10}$

- $Y=3$ となる組み合わせは (1, 4), (2, 5) の2通りなので、確率は $\frac{2}{10}$

- $Y=4$ となる組み合わせは (1, 5) の1通りなので、確率は $\frac{1}{10}$

したがって、$Y$ の期待値は

$E(Y) = 1 \times \frac{4}{10} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{2}{10} + 4 \times \frac{1}{10} = \frac{4 + 6 + 6 + 4}{10} = \frac{20}{10} = 2$

3. 最終的な答え

(7) $E(X) = 4$

(8) $E(Y) = 2$