点Oは三角形ABCの外心である。角xと角yの大きさをそれぞれ求める。三角形ABCにおいて、角BACの一部がy、角BCAが40°、角CABの一部が30°で表されている。

1. 問題の内容

点Oは三角形ABCの外心である。角xと角yの大きさをそれぞれ求める。三角形ABCにおいて、角BACの一部がy、角BCAが40°、角CABの一部が30°で表されている。

2. 解き方の手順

外心は、三角形の各辺の垂直二等分線の交点であり、外心から各頂点までの距離は等しい。つまり、OA = OB = OCである。

したがって、三角形OAB、三角形OBC、三角形OCAはそれぞれ二等辺三角形である。

まず、三角形OBCについて考える。OB = OCより、三角形OBCは二等辺三角形なので、

$\angle OBC = \angle OCB = x$

$\angle BOC = 180^\circ - 2x$

次に、三角形OCAについて考える。OA = OCより、三角形OCAは二等辺三角形なので、

$\angle OAC = \angle OCA = 30^\circ$

$\angle AOC = 180^\circ - 2 \times 30^\circ = 120^\circ$

同様に、三角形OABについて考える。OA = OBより、三角形OABは二等辺三角形なので、

$\angle OAB = \angle OBA = y$

$\angle AOB = 180^\circ - 2y$

三角形ABCの内角の和は180°であるから、

$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$

$(x + y) + 40^\circ + (30^\circ + y) = 180^\circ$

$x + 2y + 70^\circ = 180^\circ$

$x + 2y = 110^\circ$ ...(1)

また、点Oは三角形ABCの外心なので、$\angle BOC + \angle AOC + \angle AOB = 360^\circ$である。

$(180^\circ - 2x) + 120^\circ + (180^\circ - 2y) = 360^\circ$

$480^\circ - 2x - 2y = 360^\circ$

$2x + 2y = 120^\circ$

$x + y = 60^\circ$ ...(2)

(1)式から(2)式を引くと、

$(x + 2y) - (x + y) = 110^\circ - 60^\circ$

$y = 50^\circ$

(2)式に $y = 50^\circ$を代入すると、

$x + 50^\circ = 60^\circ$

$x = 10^\circ$

3. 最終的な答え

x = 10°

y = 50°