三角形ABCと三角形DBEは、$\angle B$が共通、$\angle BAC = \angle BDE = 90^\circ$ であることから相似である。このとき、2つの三角形の面積の比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCと三角形DBEは、$\angle B$が共通、$\angle BAC = \angle BDE = 90^\circ$ であることから相似である。このとき、2つの三角形の面積の比を求める。

2. 解き方の手順

相似な三角形の面積比は、相似比の2乗に等しいことを利用する。

まず、三角形ABCと三角形DBEの相似比を求める。

図から、BA = 4cm, BC = 5cmが読み取れる。また、DF = 6cmと読み取れる。

三角形ABCと三角形DBEにおいて、$\angle BAC = \angle BDE = 90^\circ$ より、ABとDFが対応する辺とは限らない。

$\angle B$が共通なので、BAとBD、BCとBEが対応する辺の可能性もある。

ここで、BCが斜辺となっていることから、$\triangle ABC$ の辺の比が $3:4:5$ であることを考えると、$\triangle DBE$ は $\angle BDE=90^\circ$ より斜辺がBEとなり、BEの長さが不明であるため、BCとBEの相似比を使うことは難しい。

また、$AC$ の長さが不明であるため、$AC$ と $DE$ の相似比を使うことも難しい。

$\triangle ABC$ の底辺をBCとすると、高さはAH。

$\triangle DBE$ の底辺をBEとすると、高さはDF。

ここで、$\triangle ABC \sim \triangle DBE$ であるから、

$\frac{BA}{BD} = \frac{BC}{BE} = \frac{AC}{DE}$

三角形ABCと三角形DBEにおいて、$\angle BAC = \angle BDE = 90^\circ$ より、ABとDBが対応する辺であると考えられる。

三角形ABCのBA = 4cmであり、三角形DBEのDBは不明。

しかし、問題文に2つの三角形の面積の比を求めよとあり、辺の長さが分かっている辺を使って相似比を求める必要がある。

したがって、$\triangle ABC \sim \triangle DBE$ より、$AB$に対応するのは$DB$ではなく、$DF$と考えるのが妥当である。

よって、$AC$ と $DE$ が対応し、$BC$ と $BE$ が対応すると考える。

$\triangle ABC \sim \triangle DBE$　において、$\angle BAC=\angle BDF = 90^\circ$ なので、$BC$ と $BE$ は対応する辺であると考えられる。

また、$\angle ABC$ と $\angle DBE$ は共通であるため、$BA$ と $BD$ が対応する辺であると考えられる。

この時、$\triangle ABC$ において、$BC=5$ であり、$BA=4$ であるので、$\triangle BDE$ に対応する辺を考えると、$DF=6$ より、$AB$ に対応する $DF$ が分かっているため、$\frac{BC}{BE} = \frac{BA}{BD}$ であれば相似比を求めることができる。

しかし、$BE$ も $BD$ も長さが分かっていないため、面積比を求めることができない。

問題文に「右図において」と書いてあることから、図から相似比を読み取れる必要がある。

この問題の解法として、相似比を求めるために、相似な三角形を見つける必要がある。

$\triangle ABC \sim \triangle DBE$ と言われているので、辺の対応関係を正しく見つける必要がある。

ここで、$\triangle ABC \sim \triangle DBF$ と仮定すると、$BA = 4, BC=5$ であり、$DF=6$ である。

$AC = \sqrt{BC^2 - BA^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$

この時、$\triangle ABC$ において、$BA:AC:BC = 4:3:5$ となる。

一方、$\triangle DBF$ において、$DB$ が不明、$BF$ が不明、$DF=6$ である。

したがって、$\frac{AC}{DF} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

面積比は相似比の2乗なので、$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

したがって、$\triangle ABC : \triangle DBF = 1:4$

3. 最終的な答え

1:4