三角形ABCの外心Oが与えられており、∠ABC = 27°、∠ACB = 41°である。∠BOC (つまり $x$) の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心Oが与えられており、∠ABC = 27°、∠ACB = 41°である。∠BOC (つまり $x$) の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

外心Oは三角形ABCの外接円の中心である。

外心Oは各頂点からの距離が等しい。すなわち、OA = OB = OCである。

三角形OBCはOB = OCの二等辺三角形である。

∠OBC = ∠OCBである。

三角形ABCにおいて、∠BACを計算する。三角形の内角の和は180°なので、

$∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 27° - 41° = 180° - 68° = 112°$

外心の性質より、$∠BOC = 2∠BAC$なので、

$∠BOC = 2 \times 112° = 224°$

しかし、$x$は鋭角なので、凹角の方ではなく、劣弧BCに対する中心角を考える。

劣弧BCに対する中心角は、$360° - 224° = 136°$

∠xは∠BOCとして与えられているので、∠xは三角形OBCにおける頂角にあたる。

∠BACに対する中心角∠BOC = 2∠BACの関係は、∠BACが鋭角の場合に成り立つ。

∠BACが鈍角の場合、外心Oは三角形ABCの外に位置するため、∠BOC = 2∠BACの関係をそのまま適用できない。

しかし、∠BACを求めることができたので、円周角の定理を用いて∠BOCを求める。

∠BOCは円周角∠BACの中心角なので、∠BOC = 2∠BAC。

∠BAC = 112°なので、∠BOC = 2 × 112° = 224°。

問題図から∠BOCは224°ではなく、1周から224°を引いた角度であると考えられる。

したがって、∠BOC = 360° - 224° = 136°。

3. 最終的な答え

136°