確率密度関数 $P(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} \exp(-\frac{x^2}{4Dt})$ が規格化されていることを確認する問題です。つまり、$\int_{-\infty}^{\infty} P(x, t) dx = 1$ となることを示す必要があります。また、$\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-ax^2) dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ の公式を利用します。

1. 問題の内容

確率密度関数 $P(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} \exp(-\frac{x^2}{4Dt})$ が規格化されていることを確認する問題です。つまり、$\int_{-\infty}^{\infty} P(x, t) dx = 1$ となることを示す必要があります。また、$\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-ax^2) dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ の公式を利用します。

2. 解き方の手順

与えられた確率密度関数 $P(x,t)$ を $-\infty$ から $\infty$ まで積分します。

$\int_{-\infty}^{\infty} P(x, t) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} \exp(-\frac{x^2}{4Dt}) dx$

積分記号の外に出せる定数項を外に出します。

$\int_{-\infty}^{\infty} P(x, t) dx = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\frac{x^2}{4Dt}) dx$

与えられた公式 $\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-ax^2) dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ を利用します。この問題では $a = \frac{1}{4Dt}$ なので、公式に代入すると

$\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\frac{x^2}{4Dt}) dx = \sqrt{\frac{\pi}{\frac{1}{4Dt}}} = \sqrt{4\pi Dt}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-\infty}^{\infty} P(x, t) dx = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} \sqrt{4\pi Dt} = 1$

3. 最終的な答え

$\int_{-\infty}^{\infty} P(x, t) dx = 1$

したがって、$P(x, t)$ は規格化されています。