ある都市の20日分の最高気温を摂氏(℃)で計測したデータがあり、その平均値が15.0℃、分散が9.0である。このデータを華氏(°F)に変換したときの、平均値、分散、標準偏差を求めよ。ただし、摂氏 $x$ ℃と華氏 $y$ °Fの間には、$y = 1.8x + 32$ の関係がある。

1. 問題の内容

ある都市の20日分の最高気温を摂氏(℃)で計測したデータがあり、その平均値が15.0℃、分散が9.0である。このデータを華氏(°F)に変換したときの、平均値、分散、標準偏差を求めよ。ただし、摂氏 $x$ ℃と華氏 $y$ °Fの間には、$y = 1.8x + 32$ の関係がある。

2. 解き方の手順

(1) 平均値の計算

摂氏の平均値を $\bar{x}$ とすると、華氏の平均値 $\bar{y}$ は、以下の式で求められます。

$\bar{y} = 1.8\bar{x} + 32$

問題文より、$\bar{x} = 15.0$ なので、

$\bar{y} = 1.8 \times 15.0 + 32 = 27 + 32 = 59$

(2) 分散の計算

摂氏の分散を $s_x^2$、華氏の分散を $s_y^2$ とすると、

$y = 1.8x + 32$ より、分散は以下の式で求められます。

$s_y^2 = (1.8)^2 s_x^2$

問題文より、$s_x^2 = 9.0$ なので、

$s_y^2 = (1.8)^2 \times 9.0 = 3.24 \times 9 = 29.16$

(3) 標準偏差の計算

華氏の標準偏差 $s_y$ は、華氏の分散 $s_y^2$ の平方根で求められます。

$s_y = \sqrt{s_y^2} = \sqrt{29.16} = 5.4$

3. 最終的な答え

華氏に変換したときの

平均値: 59 °F

分散: 29.16

標準偏差: 5.4