試験の得点 $x$ に対する偏差値 $y$ が $y = \frac{x - \overline{x}}{s_x} \times 10 + 50$ で与えられている。ここで、$\overline{x}$ は $x$ のデータの平均値、$s_x$ は $x$ のデータの標準偏差である。 (1) $z = \frac{x - \overline{x}}{s_x}$ とするとき、変量 $z$ の平均値と標準偏差を求める。 (2) 偏差値 $y$ の平均値と標準偏差を求める。 (3) 偏差値の記述として正しいものを選択肢の中から選ぶ。

1. 問題の内容

試験の得点 $x$ に対する偏差値 $y$ が $y = \frac{x - \overline{x}}{s_x} \times 10 + 50$ で与えられている。ここで、$\overline{x}$ は $x$ のデータの平均値、$s_x$ は $x$ のデータの標準偏差である。

(1) $z = \frac{x - \overline{x}}{s_x}$ とするとき、変量 $z$ の平均値と標準偏差を求める。

(2) 偏差値 $y$ の平均値と標準偏差を求める。

(3) 偏差値の記述として正しいものを選択肢の中から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 変量 $z$ の平均値と標準偏差を求める。

平均値 $\overline{z}$ は、

$\overline{z} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} z_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i - \overline{x}}{s_x} = \frac{1}{n s_x} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x}) = \frac{1}{n s_x} (\sum_{i=1}^{n} x_i - n\overline{x}) = \frac{1}{n s_x} (n\overline{x} - n\overline{x}) = 0$

標準偏差 $s_z$ は、

$s_z = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (z_i - \overline{z})^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (\frac{x_i - \overline{x}}{s_x} - 0)^2} = \sqrt{\frac{1}{n s_x^2} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2} = \sqrt{\frac{1}{s_x^2} \cdot s_x^2} = 1$

(2) 偏差値 $y$ の平均値と標準偏差を求める。

平均値 $\overline{y}$ は、

$\overline{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (\frac{x_i - \overline{x}}{s_x} \times 10 + 50) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (10z_i + 50) = 10\overline{z} + 50 = 10 \times 0 + 50 = 50$

標準偏差 $s_y$ は、

$s_y = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \overline{y})^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (10z_i + 50 - 50)^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (10z_i)^2} = \sqrt{\frac{100}{n} \sum_{i=1}^{n} z_i^2} = 10 \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} z_i^2} = 10 s_z = 10 \times 1 = 10$

(3) 偏差値の記述として正しいものを選択肢の中から選ぶ。

* 選択肢⓪：得点が平均値 $\overline{x}$ に等しいデータが1つ加わったとき、偏差値 $y$ は変わらない。

$\overline{x}$ に等しい得点が加わると、全体の平均 $\overline{x}$ と標準偏差 $s_x$ が変わるため、偏差値 $y$ は変わる。したがって、この選択肢は誤り。

* 選択肢①：全員の得点が同じ点だけ上がったとき、各人の偏差値は変わらない。

全員の得点が同じ点だけ上がった場合、平均値 $\overline{x}$ も同じだけ上がり、$x - \overline{x}$ の値は変わらない。また、標準偏差 $s_x$ も変わらないため、偏差値 $y$ は変わらない。したがって、この選択肢は正しい。

* 選択肢②：偏差値が50以上の人数と、偏差値が50以下の人数は等しい。

必ずしも等しいとは限らない。たとえば、全員の得点が平均点よりも低い場合、偏差値は50未満となり、50以上の人数は0人になる。したがって、この選択肢は誤り。

* 選択肢③：偏差値が負になることはない。

偏差値が負になることはあり得る。例えば、得点 $x$ が平均点 $\overline{x}$ よりも十分に小さければ、偏差値は負になる。したがって、この選択肢は誤り。

3. 最終的な答え

(1) $z$ の平均値: 0, 標準偏差: 1

(2) $y$ の平均値: 50, 標準偏差: 10

(3) 正しい記述：①