男子3人と女子3人が円卓に座る。両隣が同性なら参加費は1200円、異性なら3600円、同性と異性1人ずつなら2400円である。 (1) Aさんの参加費が1200円、2400円、3600円となる確率を求める。 (2) 6人の参加費合計Yの最大値と最小値、及びその確率を求める。 (3) Yの期待値を求める。

1. 問題の内容

男子3人と女子3人が円卓に座る。両隣が同性なら参加費は1200円、異性なら3600円、同性と異性1人ずつなら2400円である。

(1) Aさんの参加費が1200円、2400円、3600円となる確率を求める。

(2) 6人の参加費合計Yの最大値と最小値、及びその確率を求める。

(3) Yの期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) Aさんの参加費が1200円となるのは、両隣が同性の場合。Aの両隣がともに男子(BCの並び順を考慮)になる確率は $\frac{2}{5}$。Aの両隣がともに女子(DE,DF,EFの並び順を考慮)になる確率は $\frac{2}{5}$。よって確率は $\frac{2+2}{5 \times 4} = \frac{1}{5}$。

Aさんの参加費が2400円となるのは、片方が男子、もう片方が女子の場合。並びは男子女子、女子男子の2通り。確率は $\frac{3 \times 2 \times 2}{5 \times 4} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$。

Aさんの参加費が3600円となるのは、両隣が異性の場合。確率は $\frac{6}{30} = \frac{3}{5}$。

$1 - \frac{1}{5} - \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$.

したがって、参加費が1200円、2400円、3600円である確率はそれぞれ $\frac{1}{5}, \frac{2}{5}$になる。

Aの両隣が異性である確率は $\frac{2}{5}$

(2) Yの最大値は、全員の隣が異性の場合。

この場合、$3600 \times 6 = 21600$ 円。

男女が交互に並ぶ必要があるので、その並び方は2通り。全体の並び方は $(6-1)! = 5! = 120$通り。

男女が交互に並ぶ並び方は、男を固定して、女の並び順を決めると考えれば $2 \times 3! \times 3! = 2 \times 6 \times 6 =72$通り.

2通りなので, 2/120 = 1/60

Yの最小値は、全員の隣が同性の場合。

この場合、$1200 \times 6 = 7200$円。

例えば、男子が連続して並ぶ場合。

男子が3人連続して並び、女子も3人連続して並ぶ。

これは円順列で考えれば、1通り。

全体の並び方は $(6-1)! = 5! = 120$通り。

その確率は $\frac{2}{120} = \frac{1}{60}$

(3) 期待値は、1人あたりの参加費の期待値 * 6。

$1200 * (1/5) + 2400 * (2/5) + 3600 * (2/5) = 240 + 960 + 1440 = 2640$.

$2640 * 6 = 15840$.

3. 最終的な答え

(1) Aさんの参加費が1200円、2400円、3600円である確率は、順に $\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{2}{5}$。

(2) Yの最大値は21600円で、その確率は $\frac{1}{10}$。

また、Yの最小値は7200円で、その確率は $\frac{1}{60}$。

(3) Yの期待値は15840円。