図のような13個の点を結ぶ15本の経路があり、点Pは点Aからスタートする。1回の試行で隣の点に同じ確率で移動する。移動してきた経路を戻ることも可能とする。 (1) 2回の試行後、点Pが点Aに戻る確率を求める。 (2) 4回の試行後、点Pが点Aに戻る確率を求める。 (3) 6回の試行後、点Pが点Aに戻る確率を求める。

1. 問題の内容

図のような13個の点を結ぶ15本の経路があり、点Pは点Aからスタートする。1回の試行で隣の点に同じ確率で移動する。移動してきた経路を戻ることも可能とする。

(1) 2回の試行後、点Pが点Aに戻る確率を求める。

(2) 4回の試行後、点Pが点Aに戻る確率を求める。

(3) 6回の試行後、点Pが点Aに戻る確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2回の試行後、点Pが点Aに戻る確率

点Aから隣の点へ移動する経路は3本あるので、1回の移動で隣の点へ移動する確率は $\frac{1}{3}$。

2回の試行後、点Pが点Aに戻るためには、一度隣の点へ移動し、次の試行で元の点Aに戻る必要がある。どの隣の点から戻る場合も確率は $\frac{1}{3}$ なので、2回の試行後に点Aに戻る確率は、

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = 3 \times (\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

(2) 4回の試行後、点Pが点Aに戻る確率

4回の試行後、点Pが点Aに戻るパターンは以下の通り。

- A → (隣) → A → (隣) → A

- A → (隣) → (隣) → (隣) → A

- A → (隣) → A → A → A

ただし隣り合う点の移動は$\frac{1}{3}$の確率で起こる。

4回の試行でAに戻るパターンを考える。

(i) 2回目でAに戻り、その後2回Aに留まる場合：$\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{3}$

(ii) 4回全てでAに戻る場合： (隣)->A を2回繰り返す。 ($\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$)^2 = $\frac{1}{81}$

(iii) 2回目でBに行き、3回目でCに行き、4回目でAに戻る。$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$ (これはB,C,D の3パターン存在)

3本ある辺を使って一つ進み、一つ戻るというのを二回繰り返すとAに戻るので

3C1 * (1/3)^4= 3 * (1/81)=1/27

一度A以外の場所に移動してから、2手でAに戻る場合を考えると、隣の点から動かない確率は0。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{27} = \frac{10}{27}$

別の考え方として、状態遷移を考える。

状態Aから確率$\frac{1}{3}$で状態B（隣接点）へ移動し、状態Bから確率$\frac{1}{3}$で状態Aへ移動する。

$P_n$をn回後に点Aにいる確率とする。$1-P_n$はAにいない確率となる。

$P_{n+1} = \frac{1}{3}(1-P_n)$

$P_0 = 1$

$P_1 = 0$

$P_2 = \frac{1}{3}$

$P_3 = \frac{1}{3}(1-\frac{1}{3}) = \frac{2}{9}$

$P_4 = \frac{1}{3}(1-\frac{2}{9}) = \frac{7}{27}$

(3) 6回の試行後、点Pが点Aに戻る確率

$P_5 = \frac{1}{3}(1-\frac{7}{27}) = \frac{20}{81}$

$P_6 = \frac{1}{3}(1-\frac{20}{81}) = \frac{61}{243}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{7}{27}$

(3) $\frac{61}{243}$