10人を以下の方法で組分けする場合の数を求めます。 (1) 3人と7人の2組に分ける。 (2) 5人ずつA, Bの2組に分ける。 (3) 5人ずつの2組に分ける。 (4) 5人、3人、2人の3組に分ける。 (5) 4人、4人、2人の3組に分ける。

1. 問題の内容

10人を以下の方法で組分けする場合の数を求めます。

(1) 3人と7人の2組に分ける。

(2) 5人ずつA, Bの2組に分ける。

(3) 5人ずつの2組に分ける。

(4) 5人、3人、2人の3組に分ける。

(5) 4人、4人、2人の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 10人から3人を選ぶ組み合わせを考えます。残りの7人は自動的に決まります。組み合わせの数は、

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$通りです。

(2) 10人からA組の5人を選ぶ組み合わせを考えます。残りの5人は自動的にB組に入ります。組み合わせの数は、

$_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$通りです。

(3) 10人から5人を選ぶ組み合わせを考えます。残りの5人も決まりますが、組に区別がないので、2で割る必要があります。組み合わせの数は、

$\frac{_{10}C_5}{2} = \frac{252}{2} = 126$通りです。

(4) 10人から5人を選び、残りの5人から3人を選び、さらに残りの2人から2人を選ぶ組み合わせを考えます。組み合わせの数は、

$_{10}C_5 \times _5C_3 \times _2C_2 = \frac{10!}{5!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 252 \times 10 \times 1 = 2520$通りです。

(5) 10人から4人を選び、残りの6人から4人を選び、さらに残りの2人から2人を選ぶ組み合わせを考えます。4人の組が2つあるので、2!で割る必要があります。組み合わせの数は、

$\frac{_{10}C_4 \times _6C_4 \times _2C_2}{2!} = \frac{\frac{10!}{4!6!} \times \frac{6!}{4!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{2} = \frac{210 \times 15 \times 1}{2} = \frac{3150}{2} = 1575$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 252通り

(3) 126通り

(4) 2520通り

(5) 1575通り