20本のくじの中に当たりくじが5本ある。1人目の人がくじを引き、その後2人目の人がくじを引いたところ外れだった。このとき、1人目の人が当たりくじを引いた確率を求めよ。ただし、引いたくじは元に戻さないものとする。

1. 問題の内容

20本のくじの中に当たりくじが5本ある。1人目の人がくじを引き、その後2人目の人がくじを引いたところ外れだった。このとき、1人目の人が当たりくじを引いた確率を求めよ。ただし、引いたくじは元に戻さないものとする。

2. 解き方の手順

この問題は条件付き確率の問題です。

A: 1人目が当たりを引く事象

B: 2人目が外れを引く事象

とすると、求めるべき確率は$P(A|B)$ です。

条件付き確率の定義より、

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

ここで、$P(A \cap B)$ は1人目が当たりを引き、2人目が外れを引く確率、$P(B)$ は2人目が外れを引く確率です。

まず、$P(A \cap B)$ を計算します。

1人目が当たりを引く確率は $\frac{5}{20}$ です。

1人目が当たりを引いた後、残り19本のくじのうち、当たりは4本、外れは15本です。

したがって、2人目が外れを引く確率は $\frac{15}{19}$ です。

よって、$P(A \cap B) = \frac{5}{20} \times \frac{15}{19} = \frac{75}{380}$

次に、$P(B)$ を計算します。

$P(B)$ は、1人目が当たりを引いて2人目が外れを引く確率と、1人目が外れを引いて2人目が外れを引く確率の和で表されます。

1人目が外れを引く確率は $\frac{15}{20}$ です。

1人目が外れを引いた後、残り19本のくじのうち、当たりは5本、外れは14本です。

したがって、2人目が外れを引く確率は $\frac{14}{19}$ です。

よって、$P(B) = \frac{5}{20} \times \frac{15}{19} + \frac{15}{20} \times \frac{14}{19} = \frac{75}{380} + \frac{210}{380} = \frac{285}{380}$

したがって、$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{75}{380}}{\frac{285}{380}} = \frac{75}{285} = \frac{5}{19}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{19}$