モンティ・ホール問題に関する確率を計算する問題です。 3つの扉があり、1つには新車、2つにはヤギが入っています。 まず、扉1を選んだ後、司会者がヤギのいる扉3を開けます。 このとき、扉1のままにするか、扉2に変更するかで、新車が当たる確率を比較します。 具体的には、扉3が開けられたという条件の下で、扉1に新車がある確率 $P_X(A)$ と、扉2に新車がある確率 $P_X(B)$ を求める問題です。ここでAは扉1に新車がある事象、Bは扉2に新車がある事象、Xは司会者が扉3を開ける事象を表します。

1. 問題の内容

モンティ・ホール問題に関する確率を計算する問題です。

3つの扉があり、1つには新車、2つにはヤギが入っています。

まず、扉1を選んだ後、司会者がヤギのいる扉3を開けます。

このとき、扉1のままにするか、扉2に変更するかで、新車が当たる確率を比較します。

具体的には、扉3が開けられたという条件の下で、扉1に新車がある確率 $P_X(A)$ と、扉2に新車がある確率 $P_X(B)$ を求める問題です。ここでAは扉1に新車がある事象、Bは扉2に新車がある事象、Xは司会者が扉3を開ける事象を表します。

2. 解き方の手順

まず、$P(X)$ を求めます。これは、扉1を選んだときに司会者が扉3を開ける確率です。

扉1に新車がある場合、司会者は扉2を開けるか扉3を開けるかランダムに選びます。なので、扉3を開ける確率は $1/2$ です。

扉2に新車がある場合、司会者は必ず扉3を開けます。なので、扉3を開ける確率は $1$ です。

扉3に新車がある場合、司会者は扉3を開けられないので、この確率は $0$ です。

それぞれの確率と、各扉に新車がある確率を考慮すると、$P(X)$ は次のようになります。

$P(X) = P(\text{扉1に新車}) \times P(\text{司会者が扉3を開ける}|\text{扉1に新車}) + P(\text{扉2に新車}) \times P(\text{司会者が扉3を開ける}|\text{扉2に新車}) + P(\text{扉3に新車}) \times P(\text{司会者が扉3を開ける}|\text{扉3に新車})$

$P(X) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times 0 = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

次に、$P(A \cap X)$ を求めます。これは、扉1に新車があり、かつ司会者が扉3を開ける確率です。扉1に新車がある確率は $1/3$ で、その場合に司会者が扉3を開ける確率は $1/2$ なので、$P(A \cap X) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$。

次に、$P(B \cap X)$ を求めます。これは、扉2に新車があり、かつ司会者が扉3を開ける確率です。扉2に新車がある確率は $1/3$ で、その場合に司会者は必ず扉3を開けるので、$P(B \cap X) = \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$。

最後に、条件付き確率を計算します。

$P_X(A) = \frac{P(A \cap X)}{P(X)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{3}$

$P_X(B) = \frac{P(B \cap X)}{P(X)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$P_X(A) = \frac{1}{3}$

$P_X(B) = \frac{2}{3}$