与えられた2つの式を展開したとき、$x^2$ と $x^3$ の項の係数をそれぞれ求める問題です。 (1) $(2x+1)^5$ (2) $(3x-2)^6$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を展開したとき、$x^2$ と $x^3$ の項の係数をそれぞれ求める問題です。

(1) $(2x+1)^5$

(2) $(3x-2)^6$

2. 解き方の手順

二項定理を利用して展開式を考え、指定された次数の項の係数を求めます。

(1) $(2x+1)^5$ の場合

二項定理より、$(2x+1)^5$ の展開式の一般項は、

$${}_5 C_r (2x)^r (1)^{5-r} = {}_5 C_r 2^r x^r$$

となります。

* $x^2$ の項の係数を求めるには、$r=2$ とすればよいので、

${}_5 C_2 2^2 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 4 = 10 \cdot 4 = 40$

* $x^3$ の項の係数を求めるには、$r=3$ とすればよいので、

${}_5 C_3 2^3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$

(2) $(3x-2)^6$ の場合

二項定理より、$(3x-2)^6$ の展開式の一般項は、

$${}_6 C_r (3x)^r (-2)^{6-r} = {}_6 C_r 3^r (-2)^{6-r} x^r$$

となります。

* $x^2$ の項の係数を求めるには、$r=2$ とすればよいので、

${}_6 C_2 3^2 (-2)^{6-2} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 9 \cdot (-2)^4 = 15 \cdot 9 \cdot 16 = 15 \cdot 144 = 2160$

* $x^3$ の項の係数を求めるには、$r=3$ とすればよいので、

${}_6 C_3 3^3 (-2)^{6-3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 27 \cdot (-2)^3 = 20 \cdot 27 \cdot (-8) = 20 \cdot (-216) = -4320$

3. 最終的な答え

(1) $(2x+1)^5$

* $x^2$ の項の係数：40

* $x^3$ の項の係数：80

(2) $(3x-2)^6$

* $x^2$ の項の係数：2160

* $x^3$ の項の係数：-4320