円 $x^2 + y^2 = 1$ に対して、$\frac{dy}{dx}$ を計算し、接点 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ における接線の傾きを求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ に対して、$\frac{dy}{dx}$ を計算し、接点 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ における接線の傾きを求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 与えられた円の方程式 $x^2 + y^2 = 1$ を $x$ で微分します。陰関数微分を使うと、

$$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

となります。

2. $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y}$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

3. 接点 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ における接線の傾きを求めるために、$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $y = \frac{1}{2}$ を $\frac{dy}{dx}$ に代入します。

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1}$$

$$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{3}$$

3. 最終的な答え

接点 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ における接線の傾きは $-\sqrt{3}$ です。