以下の10個の数学の問題を解く。 (1) 関数 $f(x) = \exp(2x) + 1$ ($x \in \mathbb{R}$) の逆関数 $f^{-1}$ を求め、定義域も明記する。 (2) $\sin^{-1}\frac{1}{2}$ の値を求める。 (3) $\cos(\tan^{-1} 5)$ の値を求める。 (4) $\log x$ を微分する。 (5) 曲線 $\mathbf{c}(t) = \begin{bmatrix} \cos(2t) \\ \sin t \end{bmatrix}$ の $t = \frac{\pi}{6}$ における接線のパラメータ表示を求める。 (6) 関数 $\sqrt{1+x}$ の2次のMaclaurin展開を求める。 (7) 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 + x - e^x}{x^2}$ を求める。 (8) $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ とするとき、外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を求める。 (9) 関数 $f(x, y) = \tan^{-1} \frac{y}{x}$ を $y$ について偏微分する。 (10) 関数 $f(x, y) = 2x^4 + y^2$ の点 $(1, -1, f(1, -1))$ における接平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

以下の10個の数学の問題を解く。

(1) 関数 $f(x) = \exp(2x) + 1$ ($x \in \mathbb{R}$) の逆関数 $f^{-1}$ を求め、定義域も明記する。

(2) $\sin^{-1}\frac{1}{2}$ の値を求める。

(3) $\cos(\tan^{-1} 5)$ の値を求める。

(4) $\log x$ を微分する。

(5) 曲線 $\mathbf{c}(t) = \begin{bmatrix} \cos(2t) \\ \sin t \end{bmatrix}$ の $t = \frac{\pi}{6}$ における接線のパラメータ表示を求める。

(6) 関数 $\sqrt{1+x}$ の2次のMaclaurin展開を求める。

(7) 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 + x - e^x}{x^2}$ を求める。

(8) $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ とするとき、外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ を求める。

(9) 関数 $f(x, y) = \tan^{-1} \frac{y}{x}$ を $y$ について偏微分する。

(10) 関数 $f(x, y) = 2x^4 + y^2$ の点 $(1, -1, f(1, -1))$ における接平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = e^{2x} + 1$ とする。$y = e^{2x} + 1$ とおき、$x$ について解く。

$y - 1 = e^{2x}$

$\ln(y - 1) = 2x$

$x = \frac{1}{2} \ln(y - 1)$

よって、逆関数は $f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(x - 1)$ である。定義域は $x > 1$ である。

(2)

$\sin^{-1}\frac{1}{2} = \theta$ とおくと、$\sin \theta = \frac{1}{2}$。

$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}$。

(3)

$\tan^{-1} 5 = \theta$ とおくと、$\tan \theta = 5$。

$\cos(\tan^{-1} 5) = \cos \theta$ である。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ より、$\cos^2 \theta = \frac{1}{\tan^2 \theta + 1} = \frac{1}{5^2 + 1} = \frac{1}{26}$。

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{26}}$。

$\tan^{-1} 5$ の値域は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ である。

$\tan \theta = 5 > 0$ より、$\theta$ は第一象限の角であるから、$\cos \theta > 0$。

よって、$\cos(\tan^{-1} 5) = \frac{1}{\sqrt{26}}$。

(4)

$(\log x)' = \frac{1}{x}$。

(5)

$\mathbf{c}(t) = \begin{bmatrix} \cos(2t) \\ \sin t \end{bmatrix}$

$\mathbf{c}'(t) = \begin{bmatrix} -2\sin(2t) \\ \cos t \end{bmatrix}$

$t = \frac{\pi}{6}$ のとき、$\mathbf{c}(\frac{\pi}{6}) = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\pi}{3}) \\ \sin(\frac{\pi}{6}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$

$\mathbf{c}'(\frac{\pi}{6}) = \begin{bmatrix} -2\sin(\frac{\pi}{3}) \\ \cos(\frac{\pi}{6}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\sqrt{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$

接線の方程式は、

$\mathbf{l}(s) = \mathbf{c}(\frac{\pi}{6}) + s\mathbf{c}'(\frac{\pi}{6}) = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} + s\begin{bmatrix} -\sqrt{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} - \sqrt{3}s \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}s \end{bmatrix}$

(6)

$f(x) = \sqrt{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}}$

$f(0) = 1$

$f'(0) = \frac{1}{2}$

$f''(0) = -\frac{1}{4}$

Maclaurin展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots$

2次までなので、

$\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2$

(7)

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + x - e^x}{x^2}$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + x - (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} - \dots}{x^2} = \lim_{x \to 0} (-\frac{1}{2} - \frac{x}{6} - \dots) = -\frac{1}{2}$

またはロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + x - e^x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - e^x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-e^x}{2} = -\frac{1}{2}$

(8)

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot (-3) - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 - 3 \cdot (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -7 \\ 9 \end{bmatrix}$

(9)

$f(x, y) = \tan^{-1} \frac{y}{x}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x^2 + y^2}$

(10)

$f(x, y) = 2x^4 + y^2$

$f(1, -1) = 2(1)^4 + (-1)^2 = 2 + 1 = 3$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 8x^3$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$

$\frac{\partial f}{\partial x}(1, -1) = 8(1)^3 = 8$

$\frac{\partial f}{\partial y}(1, -1) = 2(-1) = -2$

接平面の方程式は、

$z - f(1, -1) = \frac{\partial f}{\partial x}(1, -1)(x - 1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1, -1)(y - (-1))$

$z - 3 = 8(x - 1) - 2(y + 1)$

$z - 3 = 8x - 8 - 2y - 2$

$z = 8x - 2y - 7$

3. 最終的な答え

(1) $f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(x - 1)$, $x > 1$

(2) $\frac{\pi}{6}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{26}}$

(4) $\frac{1}{x}$

(5) $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} - \sqrt{3}s \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}s \end{bmatrix}$

(6) $1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2$

(7) $-\frac{1}{2}$

(8) $\begin{bmatrix} 3 \\ -7 \\ 9 \end{bmatrix}$

(9) $\frac{x}{x^2 + y^2}$

(10) $z = 8x - 2y - 7$