関数 $y = 3\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x - 6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x$ が与えられている。ここで、$0 \le x \le \pi$ である。 (1) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = t$ とおくとき、$y$ を $t$ の式で表す。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 3\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x - 6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x$ が与えられている。ここで、$0 \le x \le \pi$ である。

(1) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = t$ とおくとき、$y$ を $t$ の式で表す。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$t = \sqrt{3}\sin x - \cos x$ の両辺を2乗する。

$t^2 = (\sqrt{3}\sin x - \cos x)^2 = 3\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x$

与えられた関数 $y$ を書き換える。

$y = (3\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x) - 6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x$

$y = t^2 - 2(\sqrt{3}\sin x - \cos x) \times (-\sqrt{3}) = t^2 + 2(-\sqrt{3}\sin x + \cos x) (-\sqrt{3})$

$y = t^2 - 2t$

(2)

$t = \sqrt{3}\sin x - \cos x$ を三角関数の合成を用いて変形する。

$t = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x) = 2(\sin x \cos \frac{\pi}{6} - \cos x \sin \frac{\pi}{6}) = 2\sin(x - \frac{\pi}{6})$

$0 \le x \le \pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{6}$ である。

したがって、

$-\frac{1}{2} \le \sin(x - \frac{\pi}{6}) \le 1$

$-1 \le 2\sin(x - \frac{\pi}{6}) \le 2$

したがって、$t$ のとりうる値の範囲は $-1 \le t \le 2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = t^2 - 2t$

(2) $-1 \le t \le 2$