大人8人と子供4人の合計12人の中から5人を選ぶ場合の数を求める問題です。以下の3つの場合について計算します。 (1) すべての選び方 (2) 大人が3人、子供が2人を選ぶ選び方 (3) 子供が少なくとも1人含まれる選び方

1. 問題の内容

大人8人と子供4人の合計12人の中から5人を選ぶ場合の数を求める問題です。以下の3つの場合について計算します。

(1) すべての選び方

(2) 大人が3人、子供が2人を選ぶ選び方

(3) 子供が少なくとも1人含まれる選び方

2. 解き方の手順

(1) すべての選び方

12人の中から5人を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を使います。

$_{12}C_5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$

(2) 大人が3人、子供が2人を選ぶ選び方

大人8人から3人を選ぶ組み合わせと、子供4人から2人を選ぶ組み合わせの積になります。

大人の選び方は $_{8}C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

子供の選び方は $_{4}C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

よって、大人が3人、子供が2人を選ぶ選び方は $56 \times 6 = 336$

(3) 子供が少なくとも1人含まれる選び方

全体の選び方から、子供が1人も含まれない選び方（つまり、大人だけで5人を選ぶ選び方）を引けばよいです。

大人のみで5人を選ぶ選び方は $_{8}C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

子供が少なくとも1人含まれる選び方は $792 - 56 = 736$

3. 最終的な答え

(1) すべての選び方：792通り

(2) 大人3人と子供2人を選ぶ選び方：336通り

(3) 子供が少なくとも1人含まれる選び方：736通り