9人を以下の条件で分ける場合の数を求めます。 (1) 3人ずつ、A, B, Cの3組に分ける。 (2) 3人ずつ3組に分ける。

1. 問題の内容

9人を以下の条件で分ける場合の数を求めます。

(1) 3人ずつ、A, B, Cの3組に分ける。

(2) 3人ずつ3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 3人ずつ、A, B, Cの3組に分ける場合

まず、9人からAの組に入れる3人を選ぶ組み合わせは ${}_9C_3$ 通りあります。

次に、残りの6人からBの組に入れる3人を選ぶ組み合わせは ${}_6C_3$ 通りあります。

最後に、残りの3人はCの組に入ります。これは ${}_3C_3=1$ 通りです。

よって、場合の数は、

${}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!}$

$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(6 \times 6 \times 6)}$

$= 84 \times 20 \times 1 = 1680$ 通り

(2) 3人ずつ3組に分ける場合

(1)の場合と異なり、組に名前がついていないため、A, B, Cの区別がありません。そのため、(1)で求めた場合に組の並び替えの分だけ重複して数えられています。3組の並び替えは $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りあるので、(1)で求めた数を6で割る必要があります。

よって、場合の数は、

$\frac{{}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 1680通り

(2) 280通り