以下の極限を計算します。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x^2}} $$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x^2}}$$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母にそれぞれ共役な式を掛けます。

分子の共役な式は $\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x^2}$、分母の共役な式は $\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2}$ です。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})}{(\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x^2})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x^2})}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{(1+x - (1-x^2))(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})}{(1-x - (1+x^2))(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x^2})}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{(x+x^2)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})}{(-x-x^2)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x^2})}$$

$x+x^2 = x(1+x)$、 $-x-x^2 = -x(1+x)$ なので、

$$= \lim_{x \to 0} \frac{x(1+x)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})}{-x(1+x)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x^2})}$$

$x \to 0$のとき、$x \neq 0$なので、$x(1+x)$で約分できます。

$$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2}}{-(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x^2})}$$

ここで、$x \to 0$ のとき、$\sqrt{1-x} \to 1$, $\sqrt{1+x^2} \to 1$, $\sqrt{1+x} \to 1$, $\sqrt{1-x^2} \to 1$ なので、

$$= \frac{1+1}{-(1+1)} = \frac{2}{-2} = -1$$

3. 最終的な答え

-1