P地点から出発し、規則に従ってA, B, Cのいずれかの地点に到達するゲームについて、以下の確率と期待値を求めます。 (1) A地点に到達する確率 (2) B地点に到達する確率と、ゲームで得られる点の期待値

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

P地点から出発し、規則に従ってA, B, Cのいずれかの地点に到達するゲームについて、以下の確率と期待値を求めます。

(1) A地点に到達する確率

(2) B地点に到達する確率と、ゲームで得られる点の期待値

2. 解き方の手順

(1) A地点に到達する確率

Pから出発し、最初に南に進みます。最初の分岐点でサイコロを振ります。

4以下の目が出ると東または西に進みます。5以上の目が出ると南に進みます。

A地点に到達するためには、最初の分岐点で4以下の目が出て東に進み、次の分岐点で曲がる必要があります。

サイコロの目が4以下である確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

東に進んだ場合、次の分岐点で必ず南に曲がるので、A地点に到達する確率は $\frac{2}{3}$ です。

(2) B地点に到達する確率と、ゲームで得られる点の期待値

B地点に到達するためには、最初に南に進み、最初の分岐点で5以上の目が出た後、次の分岐点で東に進み、さらに次の分岐点で南に進む必要があります。

最初の分岐点で5以上の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。

2番目の分岐点で東に進むためには、サイコロの目が4以下である必要があり、その確率は $\frac{2}{3}$ です。

3番目の分岐点で南に進むためには、必ず曲がる必要がありますので確率は1です。

したがって、B地点に到達する確率は $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ です。

C地点に到達するためには、最初に南に進み、最初の分岐点で5以上の目が出た後、次の分岐点で西に進み、さらに次の分岐点で南に進む必要があります。

最初の分岐点で5以上の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。

2番目の分岐点で西に進むためには、サイコロの目が4以下である必要があり、その確率は $\frac{2}{3}$ です。

3番目の分岐点で南に進むためには、必ず曲がる必要がありますので確率は1です。

したがって、C地点に到達する確率は $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ です。

A, B, Cのいずれかの地点に到達する確率は $\frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{6}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{10}{9}$ です。

しかし、これは確率の合計が1を超えてしまっており、誤りがあります。

P地点から、南に進む以外に道はないので、必ずA,B,Cのいずれかに到達します。したがって、A,B,Cいずれかに到達する確率は1です。

よって、A地点に到達する確率を$P(A)$、B地点に到達する確率を$P(B)$、C地点に到達する確率を$P(C)$とおくと、$P(A)+P(B)+P(C)=1$となります。

$P(A)=\frac{2}{3}$、$P(B)=P(C)$ですので、$P(B)=P(C)=\frac{1}{2}(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{6}$となります。

A地点に到達すると1点、B地点に到達すると2点、C地点に到達すると3点を得られるので、得られる点の期待値は以下の通りです。

$1 \times \frac{2}{3} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) A地点に到達する確率は $\frac{2}{3}$ です。

(2) B地点に到達する確率は $\frac{1}{6}$ です。得られる点の期待値は $\frac{3}{2}$ です。