次の2つの値を求める問題です。 (1) $9^{\log_3 5}$ (2) $16^{\log_2 3}$

1. 問題の内容

次の2つの値を求める問題です。

(1) $9^{\log_3 5}$

(2) $16^{\log_2 3}$

2. 解き方の手順

(1)

$9^{\log_3 5}$ を計算します。

まず、$9$を$3^2$と書き換えます。

$9^{\log_3 5} = (3^2)^{\log_3 5}$

指数法則により、

$(3^2)^{\log_3 5} = 3^{2 \log_3 5}$

次に、対数の性質$a \log_b c = \log_b (c^a)$ を用いると、

$3^{2 \log_3 5} = 3^{\log_3 (5^2)} = 3^{\log_3 25}$

対数の定義より、$a^{\log_a x} = x$ なので、

$3^{\log_3 25} = 25$

(2)

$16^{\log_2 3}$ を計算します。

まず、$16$を$2^4$と書き換えます。

$16^{\log_2 3} = (2^4)^{\log_2 3}$

指数法則により、

$(2^4)^{\log_2 3} = 2^{4 \log_2 3}$

次に、対数の性質$a \log_b c = \log_b (c^a)$ を用いると、

$2^{4 \log_2 3} = 2^{\log_2 (3^4)} = 2^{\log_2 81}$

対数の定義より、$a^{\log_a x} = x$ なので、

$2^{\log_2 81} = 81$

3. 最終的な答え

(1) 25

(2) 81