極限 $\lim_{x\to 4} \frac{(2+a)x+b}{\sqrt{x}-2} = 12$ が与えられています。この極限が存在するための $a$ と $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x\to 4} \frac{(2+a)x+b}{\sqrt{x}-2} = 12$ が与えられています。この極限が存在するための $a$ と $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、分母が $x \to 4$ で $0$ に近づくため、極限が存在するためには分子も $0$ に近づく必要があります。したがって、

$(2+a)4 + b = 0$

$8 + 4a + b = 0$

$b = -4a - 8$

これにより、元の式は

$\lim_{x\to 4} \frac{(2+a)x - 4a - 8}{\sqrt{x}-2} = 12$

次に、分母の有理化を行います。$\sqrt{x}+2$ を分母と分子にかけます。

$\lim_{x\to 4} \frac{((2+a)x - 4a - 8)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = 12$

$\lim_{x\to 4} \frac{((2+a)x - 4a - 8)(\sqrt{x}+2)}{x-4} = 12$

分子を整理します。

$(2+a)x - 4a - 8 = (2+a)x - 4(2+a) = (2+a)(x-4)$

よって、

$\lim_{x\to 4} \frac{(2+a)(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4} = 12$

$\lim_{x\to 4} (2+a)(\sqrt{x}+2) = 12$

$x \to 4$ の極限を計算すると、

$(2+a)(\sqrt{4}+2) = (2+a)(2+2) = 4(2+a) = 12$

$2+a = 3$

$a = 1$

$b = -4a - 8$ より、

$b = -4(1) - 8 = -12$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = -12$