関数 $f(x, y, z) = x^2 + 3xy + 2y^2 + z^2$ について、以下の問いに答えます。 (a) 勾配ベクトル $\nabla f(1, 0, 1)$ を求めます。 (b) 方向ベクトル $(1, 2, 3)$ を持つ直線 $e$ に沿った方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1)$ を求めます。 (c) $\frac{\partial f}{\partial l}(1, 0, 1)$ が最大となる方向の単位ベクトル $l$ と、その方向微分係数を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y, z) = x^2 + 3xy + 2y^2 + z^2$ について、以下の問いに答えます。

(a) 勾配ベクトル $\nabla f(1, 0, 1)$ を求めます。

(b) 方向ベクトル $(1, 2, 3)$ を持つ直線 $e$ に沿った方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1)$ を求めます。

(c) $\frac{\partial f}{\partial l}(1, 0, 1)$ が最大となる方向の単位ベクトル $l$ と、その方向微分係数を求めます。

2. 解き方の手順

(a) まず、関数 $f(x, y, z)$ の偏微分を求めます。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 4y$

$\frac{\partial f}{\partial z} = 2z$

したがって、勾配ベクトルは $\nabla f(x, y, z) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = (2x + 3y, 3x + 4y, 2z)$ です。

点 $(1, 0, 1)$ における勾配ベクトルは $\nabla f(1, 0, 1) = (2(1) + 3(0), 3(1) + 4(0), 2(1)) = (2, 3, 2)$ です。

(b) 方向ベクトル $(1, 2, 3)$ を持つ直線 $e$ に沿った方向微分 $\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1)$ を求めます。まず、方向ベクトルを単位ベクトルに変換します。

ベクトルの大きさは $|(1, 2, 3)| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ です。

したがって、単位ベクトル $e$ は $\left( \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}} \right)$ です。

方向微分は $\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1) = \nabla f(1, 0, 1) \cdot e = (2, 3, 2) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}} \right) = \frac{2}{\sqrt{14}} + \frac{6}{\sqrt{14}} + \frac{6}{\sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$ です。

(c) $\frac{\partial f}{\partial l}(1, 0, 1)$ が最大となる方向の単位ベクトル $l$ は、勾配ベクトル $\nabla f(1, 0, 1)$ の方向です。すなわち、$\nabla f(1, 0, 1) = (2, 3, 2)$ の方向です。単位ベクトルにするために、ベクトルの大きさを求めます。

$|(2, 3, 2)| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$ です。

したがって、単位ベクトル $l$ は $\left( \frac{2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}}, \frac{2}{\sqrt{17}} \right)$ です。

この方向の方向微分係数は、勾配ベクトルの大きさです。

$\frac{\partial f}{\partial l}(1, 0, 1) = |\nabla f(1, 0, 1)| = \sqrt{17}$ です。

3. 最終的な答え

(a) $\nabla f(1, 0, 1) = (2, 3, 2)$

(b) $\frac{\partial f}{\partial e}(1, 0, 1) = \sqrt{14}$

(c) $l = \left( \frac{2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}}, \frac{2}{\sqrt{17}} \right)$, $\frac{\partial f}{\partial l}(1, 0, 1) = \sqrt{17}$