次の4つの極限値を求める問題です。 1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ 2) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan(2x)}$ 3) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 2x}$ 4) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

1. 問題の内容

次の4つの極限値を求める問題です。

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan(2x)}$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 2x}$

4) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

2. 解き方の手順

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan(2x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\tan(2x)} \cdot \frac{1}{2} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ と $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \cdot \frac{x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{1}{2} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

4) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ を利用します。

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

1) 3

2) $\frac{1}{2}$

3) $\frac{1}{2}$

4) 2