与えられた3つの数列の和を求める問題です。 (1) $1\cdot(n-1) + 2\cdot(n-2) + 3\cdot(n-3) + \cdots + (n-1)\cdot 1$ (ただし $n \ge 2$) (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}$ (3) $\frac{1}{1+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$

代数学数列級数シグマ
2025/7/6

1. 問題の内容

与えられた3つの数列の和を求める問題です。
(1) 1(n1)+2(n2)+3(n3)++(n1)11\cdot(n-1) + 2\cdot(n-2) + 3\cdot(n-3) + \cdots + (n-1)\cdot 1 (ただし n2n \ge 2)
(2) k=1nk2k\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}
(3) 11+5+15+9+19+13++145+49\frac{1}{1+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}

2. 解き方の手順

(1) 数列の一般項を k(nk)k(n-k) と表せるので、k=1n1k(nk)\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k) を計算します。
k=1n1k(nk)=k=1n1(nkk2)=nk=1n1kk=1n1k2\sum_{k=1}^{n-1} k(n-k) = \sum_{k=1}^{n-1} (nk - k^2) = n\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} k^2
=n(n1)n2(n1)n(2n1)6=n2(n1)2n(n1)(2n1)6= n \cdot \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n^2(n-1)}{2} - \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}
=3n2(n1)n(n1)(2n1)6=n(n1)(3n(2n1))6=n(n1)(n+1)6=n(n21)6= \frac{3n^2(n-1) - n(n-1)(2n-1)}{6} = \frac{n(n-1)(3n - (2n-1))}{6} = \frac{n(n-1)(n+1)}{6} = \frac{n(n^2-1)}{6}
=n3n6= \frac{n^3 - n}{6}
(2) S=k=1nk2k=12+222+323++n2nS = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n}
12S=122+223+324++n12n+n2n+1\frac{1}{2}S = \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^3} + \frac{3}{2^4} + \cdots + \frac{n-1}{2^n} + \frac{n}{2^{n+1}}
S12S=12S=12+122+123++12nn2n+1S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}}
12S=12(1(12)n)112n2n+1=112nn2n+1=2n+12n2n+1\frac{1}{2}S = \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{n}{2^{n+1}} = 1 - \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}} = \frac{2^{n+1} - 2 - n}{2^{n+1}}
S=2n+12n2n=22+n2nS = \frac{2^{n+1} - 2 - n}{2^n} = 2 - \frac{2+n}{2^n}
(3) 各項を有利化します。
11+5=5151=514\frac{1}{1+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}-1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}
15+9=9595=954\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{9}-\sqrt{5}}{9-5} = \frac{\sqrt{9}-\sqrt{5}}{4}
19+13=139139=1394\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{13-9} = \frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{4}
\cdots
145+49=49454945=49454\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{49}-\sqrt{45}}{49-45} = \frac{\sqrt{49}-\sqrt{45}}{4}
求める和は
14((51)+(95)+(139)++(4945))\frac{1}{4} ((\sqrt{5}-1) + (\sqrt{9}-\sqrt{5}) + (\sqrt{13}-\sqrt{9}) + \cdots + (\sqrt{49}-\sqrt{45}))
=14(491)=14(71)=64=32= \frac{1}{4} (\sqrt{49} - 1) = \frac{1}{4} (7-1) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

3. 最終的な答え

(1) n3n6\frac{n^3-n}{6}
(2) 2n+22n2 - \frac{n+2}{2^n}
(3) 32\frac{3}{2}

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