$0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{3}\sin(x+\frac{\pi}{6}) = 2\sin x + 1$ を満たす $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{3}\sin(x+\frac{\pi}{6}) = 2\sin x + 1$ を満たす $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin(x + \frac{\pi}{6})$ を加法定理を使って展開します。

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x$

これを方程式に代入すると、

$\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x) = 2\sin x + 1$

$\frac{3}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 2\sin x + 1$

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \frac{1}{2}\sin x + 1$

$\sqrt{3}\cos x = \sin x + 2$

両辺を2乗すると、

$3\cos^2 x = (\sin x + 2)^2$

$3(1-\sin^2 x) = \sin^2 x + 4\sin x + 4$

$3 - 3\sin^2 x = \sin^2 x + 4\sin x + 4$

$4\sin^2 x + 4\sin x + 1 = 0$

$(2\sin x + 1)^2 = 0$

$2\sin x + 1 = 0$

$\sin x = -\frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ において、$\sin x = -\frac{1}{2}$ を満たす $x$ の値は $x = \frac{7\pi}{6}$ または $x = \frac{11\pi}{6}$ です。

ここで、$\sqrt{3}\cos x = \sin x + 2$ に $x = \frac{7\pi}{6}$ を代入すると、

$\sqrt{3}\cos \frac{7\pi}{6} = \sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2}$

$\sin \frac{7\pi}{6} + 2 = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$

$-\frac{3}{2} \neq \frac{3}{2}$ より、$x = \frac{7\pi}{6}$ は解ではありません。

次に、$x = \frac{11\pi}{6}$ を代入すると、

$\sqrt{3}\cos \frac{11\pi}{6} = \sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2}$

$\sin \frac{11\pi}{6} + 2 = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ より、$x = \frac{11\pi}{6}$ は解です。

3. 最終的な答え

$x = \frac{11\pi}{6}$