与えられた3つの式を因数分解します。 (1) $x^3 + 125$ (2) $64p^3 - 27q^3$ (3) $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解します。

(1) $x^3 + 125$

(2) $64p^3 - 27q^3$

(3) $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 125$ について

$125 = 5^3$ であることに注意します。これは $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の形であるため、公式を適用します。

$x^3 + 5^3 = (x+5)(x^2 - 5x + 25)$

(2) $64p^3 - 27q^3$ について

$64p^3 = (4p)^3$ と $27q^3 = (3q)^3$ であることに注意します。これは $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の形であるため、公式を適用します。

$(4p)^3 - (3q)^3 = (4p - 3q)((4p)^2 + (4p)(3q) + (3q)^2) = (4p - 3q)(16p^2 + 12pq + 9q^2)$

(3) $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ について

$8 = 2^3$ であることに注意します。これは $(x-2)^3$ の展開形に似ていることに気づきます。

$(x-2)^3 = x^3 - 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

したがって、$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x-2)^3$

3. 最終的な答え

(1) $(x+5)(x^2 - 5x + 25)$

(2) $(4p - 3q)(16p^2 + 12pq + 9q^2)$

(3) $(x-2)^3$