(1) $\frac{a+b}{a-b} \div \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}$ を計算しなさい。 (2) $\frac{x}{3(x-3)} - \frac{3}{x(x-3)}$ を計算しなさい。

1. 問題の内容

(1) $\frac{a+b}{a-b} \div \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}$ を計算しなさい。

(2) $\frac{x}{3(x-3)} - \frac{3}{x(x-3)}$ を計算しなさい。

2. 解き方の手順

(1)

まず、割り算を掛け算に変換します。

$\frac{a+b}{a-b} \div \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2} = \frac{a+b}{a-b} \times \frac{a^2-b^2}{a^2+2ab+b^2}$

次に、分子と分母を因数分解します。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 = (a+b)(a+b)$

したがって、

$\frac{a+b}{a-b} \times \frac{a^2-b^2}{a^2+2ab+b^2} = \frac{a+b}{a-b} \times \frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)(a+b)}$

約分すると、

$\frac{a+b}{a-b} \times \frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)(a+b)} = \frac{1}{1} = 1$

(2)

$\frac{x}{3(x-3)} - \frac{3}{x(x-3)}$

通分すると、分母は $3x(x-3)$ となる。

$\frac{x}{3(x-3)} - \frac{3}{x(x-3)} = \frac{x^2}{3x(x-3)} - \frac{3 \times 3}{3x(x-3)}$

$= \frac{x^2}{3x(x-3)} - \frac{9}{3x(x-3)}$

$= \frac{x^2-9}{3x(x-3)}$

分子を因数分解すると、

$x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$

したがって、

$\frac{x^2-9}{3x(x-3)} = \frac{(x+3)(x-3)}{3x(x-3)}$

約分すると、

$\frac{(x+3)(x-3)}{3x(x-3)} = \frac{x+3}{3x}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{x+3}{3x}$