点$(0, \frac{1}{2})$から双曲線$\frac{x^2}{5} - y^2 = 1$に引いた接線の方程式を求める。

## 問題136

1. 問題の内容

点$(0, \frac{1}{2})$から双曲線$\frac{x^2}{5} - y^2 = 1$に引いた接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、双曲線$\frac{x^2}{5} - y^2 = 1$上の接点を$(x_1, y_1)$とおく。

接点$(x_1, y_1)$における接線の方程式は、

$\frac{x x_1}{5} - y y_1 = 1$

と表せる。

この接線が点$(0, \frac{1}{2})$を通るので、

$\frac{0 \cdot x_1}{5} - \frac{1}{2} y_1 = 1$

$-\frac{1}{2} y_1 = 1$

$y_1 = -2$

接点$(x_1, y_1)$は双曲線上の点でもあるので、

$\frac{x_1^2}{5} - y_1^2 = 1$

$\frac{x_1^2}{5} - (-2)^2 = 1$

$\frac{x_1^2}{5} - 4 = 1$

$\frac{x_1^2}{5} = 5$

$x_1^2 = 25$

$x_1 = \pm 5$

よって、接点は$(5, -2)$と$(-5, -2)$である。

接点$(5, -2)$における接線の方程式は、

$\frac{x \cdot 5}{5} - y \cdot (-2) = 1$

$x + 2y = 1$

接点$(-5, -2)$における接線の方程式は、

$\frac{x \cdot (-5)}{5} - y \cdot (-2) = 1$

$-x + 2y = 1$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は、

$x + 2y = 1$と$-x + 2y = 1$である。

したがって、

$x + 2y - 1 = 0$

$-x + 2y - 1 = 0$

もしくは、

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$