点$(0, 4)$から楕円$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$に引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点$(0, 4)$から楕円$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$に引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 接線の方程式を$y = mx + n$とおきます。この直線が点$(0, 4)$を通るので、$4 = m \cdot 0 + n$、つまり$n = 4$となります。したがって、接線の方程式は$y = mx + 4$と表せます。

(2) この直線が楕円$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$と接するので、連立させて$y$を消去します。

$\frac{x^2}{12} + \frac{(mx+4)^2}{4} = 1$

(3) 上記の式を整理します。

$x^2 + 3(mx+4)^2 = 12$

$x^2 + 3(m^2x^2 + 8mx + 16) = 12$

$x^2 + 3m^2x^2 + 24mx + 48 = 12$

$(1+3m^2)x^2 + 24mx + 36 = 0$

(4) この2次方程式が重解を持つとき、直線は楕円に接します。したがって、判別式$D$が0となる必要があります。

$D = (24m)^2 - 4(1+3m^2)(36) = 0$

$576m^2 - 144(1+3m^2) = 0$

$576m^2 - 144 - 432m^2 = 0$

$144m^2 = 144$

$m^2 = 1$

$m = \pm 1$

(5) $m = 1$のとき、接線の方程式は$y = x + 4$です。

$m = -1$のとき、接線の方程式は$y = -x + 4$です。

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は、

$y = x + 4$

$y = -x + 4$

です。