与えられた数式を計算し、空欄を埋める問題です。具体的には、分数式や関数の微分に関する問題が含まれています。全部で6問あります。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた数式を計算し、空欄を埋める問題です。具体的には、分数式や関数の微分に関する問題が含まれています。全部で6問あります。

2. 解き方の手順

**

1. 問題1:**

$\frac{3x^2+1}{x} = \frac{\text{【(1)】}x^2 - \text{【(2)】}}{x^2}$

左辺を通分して、右辺と比較します。

$\frac{3x^2+1}{x} = \frac{(3x^2+1)x}{x^2} = \frac{3x^3+x}{x^2}$

したがって、【(1)】 = 3x, 【(2)】 = -x となるような形にしたいが、不可能である。しかしながら、

$\frac{3x^2+1}{x} = \frac{3x^3+x}{x^2}$ なので、分子の形に注目すると、$3x^3+x$ という形にしたい。しかし、$x^2$の係数と定数項は0である必要があるため、不可能。

おそらく、問題の意図としては、$\frac{3x^2+1}{x} = 3x+\frac{1}{x}$なので、

$\frac{3x^2+1}{x} = \frac{3x^3+x}{x^2}$なので、$\frac{3x^2+1}{x} = \frac{3x^3+x}{x^2} = \frac{3x^3 + 0x^2 + x + 0}{x^2}$

よって、【(1)】= 3、【(2)】 = -0　と推定される。

**

2. 問題2:**

$\frac{x^3-3x^2+3x+1}{x} = \frac{\text{【(3)】}x^{\text{【(4)】}} - \text{【(5)】}x^{\text{【(6)】}} - \text{【(7)】}}{x^2}$

左辺を通分して、右辺と比較します。

$\frac{x^3-3x^2+3x+1}{x} = \frac{(x^3-3x^2+3x+1)x}{x^2} = \frac{x^4-3x^3+3x^2+x}{x^2}$

したがって、【(3)】 = 1, 【(4)】 = 4, 【(5)】 = 3, 【(6)】 = 3, 【(7)】 = -3x^2-x となるような形にしたい。すると、【(5)】=3,【(6)】=3, 【(7)】= -3x^2-x

$x^4-3x^3+3x^2+x = 1x^4-3x^3+ \text{【(5)】}x^{\text{【(6)】}} - \text{【(7)】}$

であるから、$\text{【(5)】}x^{\text{【(6)】}} = 3x^2$ なので、【(5)】 = 3, 【(6)】 = 2となる.

【(7)】 = -3x^2-x+3x^2 = x

となる.

**

3. 問題3:**

$\frac{x^2-3x+1}{2x-3} = \frac{\text{【(8)】}x^2 - \text{【(9)】}x + \text{【(10)】}}{(2x-3)^2}$

左辺を通分して、右辺と比較します。

$\frac{x^2-3x+1}{2x-3} = \frac{(x^2-3x+1)(2x-3)}{(2x-3)^2} = \frac{2x^3-3x^2-6x^2+9x+2x-3}{(2x-3)^2} = \frac{2x^3-9x^2+11x-3}{(2x-3)^2}$

分子を $2x^3-9x^2+11x-3$と見ると、【(8)】 = 2x, 【(9)】 = -9x, 【(10)】 = 11x-3 となるような形にしたい。しかし、与えられた空欄には数字しか入らないので、分母に注目して計算をやり直す。

$\frac{2x^3-9x^2+11x-3}{(2x-3)^2}$ について、分子を $(2x-3)$ で割ると

$2x^3-9x^2+11x-3 = (2x-3)(x^2-3x+1)$ なので、正しい。

問題は、

$\frac{x^2-3x+1}{2x-3} = \frac{\text{【(8)】}x^2 - \text{【(9)】}x + \text{【(10)】}}{(2x-3)^2}$ を満たす数字を答えよ、なので、$x^2-3x+1 = (2x-3)\frac{x^2-3x+1}{2x-3}$

$\frac{(x^2-3x+1)(2x-3)}{(2x-3)} = \frac{2x^3-3x^2-6x^2+9x+2x-3}{2x-3} = \frac{2x^3-9x^2+11x-3}{2x-3}$

$\frac{(x^2-3x+1)(2x-3)}{(2x-3)} = x^2-3x+1$

**

4. 問題4:**

$\frac{2x-4}{x^2-4x+4} = - \frac{\text{【(11)】}}{(x-\text{【(12)】})^{\text{【(13)】}}}$

$\frac{2x-4}{x^2-4x+4} = \frac{2(x-2)}{(x-2)^2} = \frac{2}{x-2}$

$\frac{2x-4}{x^2-4x+4} = - \frac{\text{【(11)】}}{(x-\text{【(12)】})^{\text{【(13)】}}}$ なので、$\frac{2}{x-2} = - \frac{\text{【(11)】}}{(x-\text{【(12)】})^{\text{【(13)】}}}$

$-\frac{-2}{x-2} = - \frac{-2}{(x-2)^1}$ なので、【(11)】 = -2,【(12)】 = 2,【(13)】 = 1

**

5. 問題5:**

$(\frac{e^x}{2x+1})' = \frac{e^x(\text{【(14)】}x - \text{【(15)】})}{(2x+1)^2}$

$(\frac{e^x}{2x+1})' = \frac{e^x(2x+1) - e^x(2)}{(2x+1)^2} = \frac{e^x(2x+1-2)}{(2x+1)^2} = \frac{e^x(2x-1)}{(2x+1)^2}$

$\frac{e^x(2x-1)}{(2x+1)^2} = \frac{e^x(\text{【(14)】}x - \text{【(15)】})}{(2x+1)^2}$ より、【(14)】= 2, 【(15)】 = 1

**

6. 問題6:**

$(\frac{\log_e |x|}{x^2+x})' = \frac{\text{【(16)】}+x-(\text{【(17)】}x + \text{【(18)】})\log_e |x|}{(x^2+x)^2}$

$(\frac{\log_e |x|}{x^2+x})' = \frac{\frac{1}{x}(x^2+x) - (2x+1)\log_e |x|}{(x^2+x)^2} = \frac{x+1 - (2x+1)\log_e |x|}{(x^2+x)^2}$

$\frac{x+1 - (2x+1)\log_e |x|}{(x^2+x)^2} = \frac{\text{【(16)】}+x-(\text{【(17)】}x + \text{【(18)】})\log_e |x|}{(x^2+x)^2}$ より、

【(16)】= 1,【(17)】=2, 【(18)】=1

3. 最終的な答え

(1): 3

(2): 0

(3): 1

(4): 4

(5): 3

(6): 2

(7): x

(8): 2

(9): 9

(10): 11

(11): -2

(12): 2

(13): 1

(14): 2

(15): 1

(16): 1

(17): 2

(18): 1