与えられた3つの関数の微分を計算し、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数の微分を計算し、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

1. $ \{e^{2e^{2x}}\}' = [ (1) ] e^{2e^{2x}} + [ (2) ] x $

$y = e^{2e^{2x}}$と置きます。

$y' = e^{2e^{2x}} \cdot (2e^{2x})' = e^{2e^{2x}} \cdot 2e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2e^{2x}} \cdot 2e^{2x} \cdot 2 = 4e^{2e^{2x}}e^{2x}$

$y' = 4e^{2e^{2x}} e^{2x}$

$y' = 4 e^{2e^{2x}+2x}$

したがって、$(1) = 4e^{2x}$、$(2) = 0$です。

2. $ \{\log_e (2\log_e (2x))\}^{'} = \frac{[(3)]}{x\log_e(2)\log_e([(4)]x)} $

$y = \log_e(2\log_e(2x))$と置きます。

$y' = \frac{1}{2\log_e(2x)} \cdot (2\log_e(2x))' = \frac{1}{2\log_e(2x)} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{2}{2x\log_e(2x)} = \frac{1}{x\log_e(2x)}$

$y' = \frac{1}{x \log_e(2x)}$

$x \log_e(2x) = x \log_e(2) + x \log_e(x) = x \log_e(2x)$

したがって、$(3) = 1, (4) = 2$です。

3. $ \{\sqrt{2\sqrt{2x}}\}^{'} = \frac{1}{2 [ (5) ] x [ (6) ]} $

$y = \sqrt{2\sqrt{2x}} = (2(2x)^{1/2})^{1/2} = 2^{1/2} (2x)^{1/4} = 2^{1/2} 2^{1/4} x^{1/4} = 2^{3/4} x^{1/4}$

$y' = 2^{3/4} \frac{1}{4} x^{1/4 - 1} = \frac{1}{4} 2^{3/4} x^{-3/4} = \frac{1}{4} 2^{3/4} \frac{1}{x^{3/4}} = \frac{2^{3/4}}{4 x^{3/4}}$

$y' = \frac{1}{4} \sqrt[4]{\frac{8}{x^3}}$

$\sqrt{2\sqrt{2x}} = (2 (2x)^{1/2})^{1/2} = (2 \cdot \sqrt{2x})^{1/2}$

$\{\sqrt{2\sqrt{2x}}\}' = \frac{1}{2\sqrt{2\sqrt{2x}}} (2\sqrt{2x})' = \frac{1}{2\sqrt{2\sqrt{2x}}} 2 \frac{1}{2\sqrt{2x}} 2 = \frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2x}} \sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{4x\sqrt{2x}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x \sqrt{2x}}} = \frac{1}{2 (x (2x)^{1/2})^{1/2}} = \frac{1}{2(2^{1/2}x^{3/2})^{1/2}} = \frac{1}{2 (2^{1/4} x^{3/4})}$

$y' = \frac{1}{2 \cdot 2^{1/4} x^{3/4}} = \frac{1}{2 \sqrt[4]{2} x^{3/4}}$

したがって、$(5) = 2^{1/4}, (6) = -3/4$

$(5) = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2} \approx 1.1892$

$(6) = -3/4 = -0.75$

したがって、$(5) = 1.189, (6) = -0.75$です。

3. 最終的な答え

(1) 4e^{2x}

(2) 0

(3) 1

(4) 2

(5) 1.189

(6) -0.75