確率変数 $X$ が与えられた確率分布に従うとき、分散 $V(X)$ を最大にする $p$ の値を求めます。確率分布は以下の通りです。 | X | 0 | 1 | 2 | 計 | |---|--------|-------|-------|-----| | P | $1-\frac{2}{3}p$ | $\frac{p}{3}$ | $\frac{p}{3}$ | 1 |

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が与えられた確率分布に従うとき、分散 $V(X)$ を最大にする $p$ の値を求めます。確率分布は以下の通りです。

| X | 0 | 1 | 2 | 計 |

|---|--------|-------|-------|-----|

| P | $1-\frac{2}{3}p$ | $\frac{p}{3}$ | $\frac{p}{3}$ | 1 |

2. 解き方の手順

まず、$X$ の期待値 $E(X)$ を計算します。

$E(X) = 0 \cdot (1 - \frac{2}{3}p) + 1 \cdot \frac{p}{3} + 2 \cdot \frac{p}{3} = \frac{p}{3} + \frac{2p}{3} = p$

次に、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = 0^2 \cdot (1 - \frac{2}{3}p) + 1^2 \cdot \frac{p}{3} + 2^2 \cdot \frac{p}{3} = \frac{p}{3} + \frac{4p}{3} = \frac{5p}{3}$

分散 $V(X)$ は、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算されます。

$V(X) = \frac{5p}{3} - p^2$

$V(X)$ を最大にする $p$ の値を求めるために、$V(X)$ を $p$ で微分し、その結果を0とおきます。

$\frac{dV(X)}{dp} = \frac{5}{3} - 2p$

$\frac{5}{3} - 2p = 0$

$2p = \frac{5}{3}$

$p = \frac{5}{6}$

$p$ の値が確率の条件を満たすか確認します。

$1-\frac{2}{3}p \ge 0$

$\frac{p}{3} \ge 0$

$\frac{p}{3} \ge 0$

$p = \frac{5}{6}$ のとき、

$1-\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} = 1-\frac{5}{9} = \frac{4}{9} \ge 0$

$\frac{p}{3} = \frac{5/6}{3} = \frac{5}{18} \ge 0$

したがって、$p = \frac{5}{6}$ は確率の条件を満たします。

3. 最終的な答え

$p = \frac{5}{6}$