袋の中に赤球2個、白球3個が入っている。この袋から球を1個取り出し、それを戻すと同時に、取り出した球と同じ色の球を1個加える。この操作を3回繰り返したとき、袋の中の赤球と白球が同数になっている確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球2個、白球3個が入っている。この袋から球を1個取り出し、それを戻すと同時に、取り出した球と同じ色の球を1個加える。この操作を3回繰り返したとき、袋の中の赤球と白球が同数になっている確率を求める。

2. 解き方の手順

初期状態では、赤球2個、白球3個の計5個の球が入っている。3回の操作後、赤球と白球が同数になるためには、合計個数が偶数になる必要がある。3回の操作で3個球が増えるので、合計個数は5+3=8個になる。したがって、赤球と白球が同数になるのは、それぞれ4個の場合である。

初期状態から3回の操作で赤球が2個増え、白球が1個増える場合と、赤球が1個増え、白球が2個増える場合を考える。

(i) 赤球が2回、白球が1回出る場合

この順序は、例えば「赤、赤、白」のように、何通りかある。この確率は、

$(\frac{2}{5}) \times (\frac{3}{6}) \times (\frac{3}{7}) = \frac{18}{210}$

$(\frac{2}{5}) \times (\frac{3}{6}) \times (\frac{4}{7}) = \frac{24}{210}$

$(\frac{2}{5}) \times (\frac{3}{6}) \times (\frac{5}{7}) = \frac{30}{210}$

$(\frac{2}{5}) \times (\frac{4}{6}) \times (\frac{3}{7}) = \frac{24}{210}$

$(\frac{3}{5}) \times (\frac{2}{6}) \times (\frac{3}{7}) = \frac{18}{210}$

$(\frac{3}{5}) \times (\frac{2}{6}) \times (\frac{3}{7}) = \frac{18}{210}$

操作の順番は ${}_3 C_2 = 3$ 通り。この確率は、

$\frac{2}{5} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{7} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{7} = \frac{18}{210}$

$\frac{2}{5} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{7} = \frac{18}{210}$

$\frac{2}{5} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{7} + \frac{3}{5} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{7} + \frac{3}{5} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{7} = \frac{18}{210} + \frac{18}{210} + \frac{18}{210}$

$\frac{18}{210} + \frac{18}{210} + \frac{18}{210} = 3 \times \frac{18}{210} = \frac{54}{210}$

最初に赤球を取り出す確率は $\frac{2}{5}$

2回目に赤球を取り出す確率は $\frac{3}{6}$

3回目に白球を取り出す確率は $\frac{3}{7}$

$\frac{2}{5} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{7} \times 3 = \frac{3 \times 2 \times 3 \times 3}{5 \times 6 \times 7} = \frac{54}{210}$

(ii) 白球が2回、赤球が1回出る場合

操作の順番は ${}_3 C_1 = 3$ 通り。この確率は、

$\frac{3}{5} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{7} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{6} \times \frac{4}{7} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{6} \times \frac{4}{7} = 3 \times \frac{24}{210} = \frac{72}{210}$

赤球が1回、白球が2回出る確率は

$3 \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{6} \times \frac{4}{7} = 3 \times \frac{24}{210} = \frac{72}{210}$

したがって、求める確率は、

$\frac{54}{210} + \frac{72}{210} = \frac{126}{210} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

3/5