1から5までの番号が書かれた白い球5個と赤い球5個が入った箱から、球を1個ずつ順に4個取り出す。取り出した球は元に戻さない。 (1) 3番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球が揃う確率を求めよ。 (2) 4番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球が揃う確率を求めよ。 (3) 取り出した4個の球の中に、同じ番号の白い球と赤い球の組がちょうど1組だけ含まれる確率を求めよ。

1. 問題の内容

1から5までの番号が書かれた白い球5個と赤い球5個が入った箱から、球を1個ずつ順に4個取り出す。取り出した球は元に戻さない。

(1) 3番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球が揃う確率を求めよ。

(2) 4番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球が揃う確率を求めよ。

(3) 取り出した4個の球の中に、同じ番号の白い球と赤い球の組がちょうど1組だけ含まれる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球が揃う確率

1回目と2回目は同じ番号が出てはいけない。

1回目の取り出し方は10通り。

2回目の取り出し方は9通り。

3回目の取り出し方は、1, 2回目に取り出された球の番号以外で、その番号の白い球または赤い球が出ればよいので、2通り。

全体の取り出し方は、$10 \times 9 \times 8 \times 7$ 通り。

1回目は白または赤の球を取り出すので、10通り。

2回目は1回目の球と同じ番号ではない球を取り出すので、8通り。

3回目は1回目と2回目に取り出された球の番号と同じ番号の白または赤の球を取り出すので、2通り。

取り出し方の総数は、$10 \times 9 \times 8 = 720$ 通り。

1回目と2回目は同じ番号が出ないようにする。

1回目の選び方は10通り。

2回目は同じ数字にならないように8通り。

3回目に同じ数字になるように2通り。

場合の数は$10 \times 8 \times 2 = 160$ 通り。

4回目の選び方は7通り。

よって、求める確率は$\frac{10 \times 8 \times 2}{10 \times 9 \times 8} = \frac{160}{720} = \frac{2}{9}$。

ただし、順番を考慮する必要があるため、全事象は$_{10}P_3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$通り。

1回目と2回目は同じ数字にならない選び方は、$10 \times 8 = 80$通り。

3回目に初めて同じ数字になるのは、2通り。

したがって、確率は$\frac{10 \times 8 \times 2}{10 \times 9 \times 8} = \frac{2}{9}$。

求める確率は$\frac{2}{9}$。

(2) 4番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球が揃う確率

1回目と2回目と3回目は同じ番号が出てはいけない。

1回目の取り出し方は10通り。

2回目の取り出し方は9通り。

3回目の取り出し方は8通り。

4回目の取り出し方は、1, 2, 3回目に取り出された球の番号以外で、その番号の白い球または赤い球が出ればよいので、2通り。

4番目に初めて同じ番号になる確率。

1回目、2回目、3回目は同じ番号が出てはいけないので、$10 \times 8 \times 6$通り。

4回目に同じ番号が出るのは2通り。

全事象は$10 \times 9 \times 8 \times 7$通り。

確率は$\frac{10 \times 8 \times 6 \times 2}{10 \times 9 \times 8 \times 7} = \frac{960}{5040} = \frac{4}{21}$。

求める確率は$\frac{4}{21}$。

(3) 取り出した4個の球の中に、同じ番号の白い球と赤い球の組がちょうど1組だけ含まれる確率

ちょうど1組だけ同じ数字が出る確率。

4つの球の中に同じ番号の組が1組だけ含まれる場合を考える。

(i) 1組だけ同じ番号のペアがある。

(ii) 残りの2つの球は異なる番号である。

(iii) 同じ番号のペアは4個の球のどこに出現するか？ (4通り)

全事象は$_{10}P_4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$。

1組のペアの選び方は5通り。

場所は4通り。

残りの2つの選び方は、$8 \times 6$通り。

確率は$\frac{5 \times 4 \times 8 \times 6}{10 \times 9 \times 8 \times 7} = \frac{960}{5040} = \frac{4}{21}$。

1. 問題の内容

箱に1から5の番号が書かれた白と赤の球がそれぞれ5個ずつ入っている。この箱から4個の球を取り出す。取り出した球は戻さない。

(1) 3番目の球を取り出した時に初めて同じ番号の白と赤の球が揃う確率

(2) 4番目の球を取り出した時に初めて同じ番号の白と赤の球が揃う確率

(3) 取り出した4個の球の中に、同じ番号の白と赤の球の組がちょうど1組だけ含まれる確率

2. 解き方の手順

(1) 3番目の球を取り出した時に初めて同じ番号の白と赤の球が揃う確率

1回目と2回目に異なる番号の球を取り出し、3回目に1回目と2回目に出ていない番号の白または赤の球を取り出す確率を求める。

1回目の選び方は10通り。2回目の選び方は8通り。3回目の選び方は2通り。

全事象は $_{10}P_3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$。

求める事象は $10 \times 8 \times 2 = 160$。

確率は $\frac{160}{720} = \frac{2}{9}$。

(2) 4番目の球を取り出した時に初めて同じ番号の白と赤の球が揃う確率

1回目、2回目、3回目に異なる番号の球を取り出し、4回目に1回目から3回目に出ていない番号の白または赤の球を取り出す確率を求める。

1回目の選び方は10通り。2回目の選び方は8通り。3回目の選び方は6通り。4回目の選び方は2通り。

全事象は $_{10}P_4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$。

求める事象は $10 \times 8 \times 6 \times 2 = 960$。

確率は $\frac{960}{5040} = \frac{4}{21}$。

(3) 取り出した4個の球の中に、同じ番号の白と赤の球の組がちょうど1組だけ含まれる確率

まず、1組のペアを選ぶ($5$通り)。次に、ペアの出現場所を選ぶ(4通り)。残りの2つの球はペア以外の数字から選ぶ必要があり、同じ数字を選んではならないため、$8 \times 6$通り。

全事象は $_{10}P_4 = 5040$。

確率は $\frac{5 \times 4 \times 8 \times 6}{5040} = \frac{960}{5040} = \frac{4}{21}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{9}$

(2) $\frac{4}{21}$

(3) $\frac{4}{21}$