1から5までの番号が書かれた白い球5個と赤い球5個が入った箱から、球を1個ずつ順に4個取り出す。取り出した球は箱に戻さない。以下の確率を求める。 (1) 3番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率 (2) 4番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率 (3) 取り出した4個の球の中に、同じ番号の白い球と赤い球の組がちょうど1組だけ含まれる確率

1. 問題の内容

1から5までの番号が書かれた白い球5個と赤い球5個が入った箱から、球を1個ずつ順に4個取り出す。取り出した球は箱に戻さない。以下の確率を求める。

(1) 3番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率

(2) 4番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率

(3) 取り出した4個の球の中に、同じ番号の白い球と赤い球の組がちょうど1組だけ含まれる確率

2. 解き方の手順

(1) 3番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率

* 1番目の球は何でも良い。取り出し方は10通り。

* 2番目の球は、1番目に出た球の色と異なる同じ番号の球以外であれば何でも良い。つまり、同じ番号の球と違う色の球は除外する。したがって、選び方は8通り。

* 3番目の球は、1番目と2番目で出ていない同じ番号の白い球と赤い球のどちらかが出れば良い。つまり、1通り。

よって、確率は

$\frac{10 \times 8 \times 2}{10 \times 9 \times 8} = \frac{160}{720} = \frac{2}{9}$

1

$\frac{2}{9}$

(2) 4番目の球を取り出したときに、初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率

* 1番目の球は何でも良い。取り出し方は10通り。

* 2番目の球は、1番目に出た球の色と異なる同じ番号の球以外であれば何でも良い。選び方は8通り。

* 3番目の球は、1番目と2番目で出た番号と異なる球であればよい。かつ、3番目に同じ番号のペアになってはいけないので、6通り。

* 4番目の球は、1,2,3番目に出ていない同じ番号の色の異なるペアであればよい。すなわち、2通り。

よって、確率は

$\frac{10 \times 8 \times 6 \times 2}{10 \times 9 \times 8 \times 7} = \frac{960}{5040} = \frac{4}{21}$

3

$\frac{4}{21}$

(3) 取り出した4個の球の中に、同じ番号の白い球と赤い球の組がちょうど1組だけ含まれる確率

考え方：4個の中からペアの組が何番目に来るか？

1組のペアができるのは何番目か？1組のペアの数字は何番か？

そして残りの2個はペアになってはいけない

(i) 1組のペアが3番目に来る場合

1,2番目はペアでない必要がある。(1)より、この確率は$\frac{8}{9}$

次に3番目にペアが来て、4番目はペアにならない場合。

3番目にペアになる確率は $\frac{2}{8}$

4番目はペアにならない確率は、残りの6個から選ぶので$\frac{6}{7}$

従って$\frac{8}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{6}{7} = \frac{96}{504} = \frac{4}{21}$

(ii) 1組のペアが4番目に来る場合

1,2,3番目はペアでない必要がある。(2)より、この確率は$\frac{4}{21}$

従って$\frac{4}{21}$

(iii) 1組のペアが1番目に来る場合

1番目はペアになるので$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

2,3,4番目はペアにならない必要がある

$\frac{8}{9} \times \frac{6}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{192}{504}$

$\frac{1}{2} \times \frac{192}{504} = \frac{192}{1008} = \frac{4}{21}$

(iv) 1組のペアが2番目に来る場合

$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

2番目にペアになるので$\frac{2}{9}$

3,4はペアにならないので$\frac{6}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{24}{56}$

$\frac{8}{9} \times \frac{2}{8} \times \frac{6}{7} = \frac{4}{21}$

(i),(ii),(iii),(iv)より$\frac{4}{21} + \frac{4}{21} + \frac{4}{21} + \frac{4}{21} = \frac{16}{21}$

5

$\frac{16}{21}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} = \frac{2}{9}$

(2) $\frac{3}{4} = \frac{4}{21}$

(3) $\frac{5}{6} = \frac{16}{21}$