AとBの2つのチームが試合を繰り返し行い、先に3勝したチームが優勝する。1回の試合でAチームが勝つ確率は $\frac{3}{4}$、Bチームが勝つ確率は $\frac{1}{4}$である。引き分けがないとき、Aチームが優勝する確率を求めよ。

1. 問題の内容

AとBの2つのチームが試合を繰り返し行い、先に3勝したチームが優勝する。1回の試合でAチームが勝つ確率は $\frac{3}{4}$、Bチームが勝つ確率は $\frac{1}{4}$である。引き分けがないとき、Aチームが優勝する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

Aチームが優勝するケースを考える。Aチームが3勝するまでに最大で5試合が行われる。Aチームが優勝するのは以下のパターンがある。

* 3連勝する場合: AAA

* 4試合目で優勝する場合: BAAA, ABAA, AABA

* 5試合目で優勝する場合: BBAAA, BABAA, BAABA, ABBAA, ABABA, AABBA

それぞれの確率を計算する。

* AAA: $(\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64}$

* BAAA: $\frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{256}$

* ABAA: $\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^2 = \frac{27}{256}$

* AABA: $(\frac{3}{4})^2 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{256}$

これらの合計は $3 \times \frac{27}{256} = \frac{81}{256}$

* BBAAA: $(\frac{1}{4})^2 \times (\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{1024}$

* BABAA: $\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^2 = \frac{27}{1024}$

* BAABA: $\frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^2 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{1024}$

* ABBAA: $\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^2 = \frac{27}{1024}$

* ABABA: $\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{1024}$

* AABBA: $(\frac{3}{4})^2 \times (\frac{1}{4})^2 \times \frac{3}{4} = \frac{27}{1024}$

これらの合計は $6 \times \frac{27}{1024} = \frac{162}{1024}$

Aチームが優勝する確率は、これらの合計になる。

$\frac{27}{64} + \frac{81}{256} + \frac{162}{1024} = \frac{27 \times 16}{64 \times 16} + \frac{81 \times 4}{256 \times 4} + \frac{162}{1024} = \frac{432}{1024} + \frac{324}{1024} + \frac{162}{1024} = \frac{918}{1024} = \frac{459}{512}$

3. 最終的な答え

$\frac{459}{512}$