袋の中に赤球3個と白球3個が入っている。 試行を以下の手順で繰り返す。 (ア) 袋から同時に2個の球を取り出す。 (イ) 取り出した2個の球が同色であれば、取り出した球をそのまま袋に戻し、色違いであれば赤球を2個袋に入れる。 (ウ) 最後に白球1個を袋に追加してかき混ぜ、1回目の試行を終える。 $n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤球の個数を$X_n$とする。 (1) $X_1 = 4$となる確率を求めよ。 (2) $X_2 = 4$となる確率を求めよ。 (3) $X_2 = 4$であったとき、$X_1 = 4$である条件付き確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤球3個と白球3個が入っている。

試行を以下の手順で繰り返す。

(ア) 袋から同時に2個の球を取り出す。

(イ) 取り出した2個の球が同色であれば、取り出した球をそのまま袋に戻し、色違いであれば赤球を2個袋に入れる。

(ウ) 最後に白球1個を袋に追加してかき混ぜ、1回目の試行を終える。

$n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤球の個数を$X_n$とする。

(1) $X_1 = 4$となる確率を求めよ。

(2) $X_2 = 4$となる確率を求めよ。

(3) $X_2 = 4$であったとき、$X_1 = 4$である条件付き確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $X_1=4$となるのは、1回目の試行後に赤球が4個になる場合である。

これは、最初に2個の球を取り出す際に、色違いの球を取り出す場合に起こる。

全事象は${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りである。

色違いの球を取り出すのは、赤球1個、白球1個を取り出す場合なので、${}_3 C_1 \times {}_3 C_1 = 3 \times 3 = 9$通りである。

したがって、$X_1 = 4$となる確率は、$\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$である。

(2) $X_2=4$となるのは、2回目の試行後に赤球が4個になる場合である。

1回目の試行の結果によって場合分けをする。

(i) 1回目に色違いを取り出し、$X_1=4$の場合。

この時の袋の中身は赤球4個、白球3個である。

この状態から2回目に$X_2=4$となるのは、2回目に同じ色を取り出す場合である。

全事象は${}_7 C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$通り。

2個とも赤を取り出すのは、${}_4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

2個とも白を取り出すのは、${}_3 C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。

したがって、この場合は$\frac{6+3}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$の確率で$X_2 = 4$となる。

1回目に色違いを取り出す確率は$\frac{3}{5}$なので、この場合は$\frac{3}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{35}$。

(ii) 1回目に同色を取り出し、$X_1=3$の場合。

この時の袋の中身は赤球3個、白球4個である。

この状態から2回目に$X_2=4$となるのは、2回目に色違いを取り出す場合である。

全事象は${}_7 C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$通り。

色違いの球を取り出すのは、赤球1個、白球1個を取り出す場合なので、${}_3 C_1 \times {}_4 C_1 = 3 \times 4 = 12$通り。

したがって、この場合は$\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$の確率で$X_2 = 4$となる。

1回目に同色を取り出す確率は$\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$なので、この場合は$\frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{35}$。

以上より、$X_2 = 4$となる確率は、$\frac{9}{35} + \frac{8}{35} = \frac{17}{35}$。

(3) $X_2=4$であったとき、$X_1=4$である条件付き確率を求める。

これは、$P(X_1=4|X_2=4) = \frac{P(X_1=4 \cap X_2=4)}{P(X_2=4)}$で計算できる。

$P(X_2=4) = \frac{17}{35}$。

$P(X_1=4 \cap X_2=4)$は、1回目に色違いを取り出し、2回目に同色を取り出す確率なので、$\frac{3}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{35}$。

したがって、$P(X_1=4|X_2=4) = \frac{\frac{9}{35}}{\frac{17}{35}} = \frac{9}{17}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{5}$

(2) $\frac{17}{35}$

(3) $\frac{9}{17}$