円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = 3x + k$ があるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 円と直線が異なる2点で交わるような定数 $k$ の値の範囲を求める。 (2) 円と直線が接するような定数 $k$ の値と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = 3x + k$ があるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 円と直線が異なる2点で交わるような定数 $k$ の値の範囲を求める。

(2) 円と直線が接するような定数 $k$ の値と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線の距離が円の半径より小さいことです。

円の中心は $(0, 0)$、半径は $5$ です。

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $3x - y + k = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|3 \cdot 0 - 0 + k|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{10}}$

円と直線が異なる2点で交わる条件は $d < 5$ なので、

$\frac{|k|}{\sqrt{10}} < 5$

$|k| < 5\sqrt{10}$

$-5\sqrt{10} < k < 5\sqrt{10}$

(2) 円と直線が接する条件は、円の中心と直線の距離が円の半径に等しいことです。

したがって、$d = 5$ なので、

$\frac{|k|}{\sqrt{10}} = 5$

$|k| = 5\sqrt{10}$

$k = \pm 5\sqrt{10}$

次に、接点の座標を求めます。

まず、$k = 5\sqrt{10}$ のときを考えます。

直線の方程式は $y = 3x + 5\sqrt{10}$ です。

接点は、円の中心 $(0, 0)$ から直線に下ろした垂線の足です。

この垂線の方程式は $y = -\frac{1}{3}x$ です。

この直線と $y = 3x + 5\sqrt{10}$ の交点を求めます。

$-\frac{1}{3}x = 3x + 5\sqrt{10}$

$-\frac{1}{3}x - 3x = 5\sqrt{10}$

$-\frac{10}{3}x = 5\sqrt{10}$

$x = -\frac{3}{2}\sqrt{10}$

$y = -\frac{1}{3}(-\frac{3}{2}\sqrt{10}) = \frac{1}{2}\sqrt{10}$

したがって、接点の座標は $(-\frac{3}{2}\sqrt{10}, \frac{1}{2}\sqrt{10})$ です。

次に、$k = -5\sqrt{10}$ のときを考えます。

直線の方程式は $y = 3x - 5\sqrt{10}$ です。

垂線の方程式は $y = -\frac{1}{3}x$ です。

この直線と $y = 3x - 5\sqrt{10}$ の交点を求めます。

$-\frac{1}{3}x = 3x - 5\sqrt{10}$

$-\frac{1}{3}x - 3x = -5\sqrt{10}$

$-\frac{10}{3}x = -5\sqrt{10}$

$x = \frac{3}{2}\sqrt{10}$

$y = -\frac{1}{3}(\frac{3}{2}\sqrt{10}) = -\frac{1}{2}\sqrt{10}$

したがって、接点の座標は $(\frac{3}{2}\sqrt{10}, -\frac{1}{2}\sqrt{10})$ です。

3. 最終的な答え

(1) $-5\sqrt{10} < k < 5\sqrt{10}$

(2) $k = 5\sqrt{10}$ のとき、接点の座標は $(-\frac{3}{2}\sqrt{10}, \frac{1}{2}\sqrt{10})$

$k = -5\sqrt{10}$ のとき、接点の座標は $(\frac{3}{2}\sqrt{10}, -\frac{1}{2}\sqrt{10})$