3点 A(0, 1), B(-1, 2), C(2, 3) を通る円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

3点 A(0, 1), B(-1, 2), C(2, 3) を通る円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

求める円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおく。

点A(0, 1)を通るから、

$0^2 + 1^2 + l \cdot 0 + m \cdot 1 + n = 0$

$1 + m + n = 0$

$m + n = -1$ (1)

点B(-1, 2)を通るから、

$(-1)^2 + 2^2 + l \cdot (-1) + m \cdot 2 + n = 0$

$1 + 4 - l + 2m + n = 0$

$-l + 2m + n = -5$ (2)

点C(2, 3)を通るから、

$2^2 + 3^2 + l \cdot 2 + m \cdot 3 + n = 0$

$4 + 9 + 2l + 3m + n = 0$

$2l + 3m + n = -13$ (3)

(2) - (1) より、

$(-l + 2m + n) - (m + n) = -5 - (-1)$

$-l + m = -4$

$l = m + 4$ (4)

(3) - (1) より、

$(2l + 3m + n) - (m + n) = -13 - (-1)$

$2l + 2m = -12$

$l + m = -6$ (5)

(5)に(4)を代入すると、

$(m + 4) + m = -6$

$2m = -10$

$m = -5$

(4)より、

$l = -5 + 4 = -1$

(1)より、

$-5 + n = -1$

$n = 4$

よって、求める円の方程式は

$x^2 + y^2 - x - 5y + 4 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 - x - 5y + 4 = 0$