極方程式 $r = 2\cos\theta$ で表される曲線を C とする。C 上の点 A, B の極座標がそれぞれ $(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4})$, $(2, 0)$ である。A, B を通る直線を $\ell$ とし、A を中心とし、線分 AB を半径にもつ円を D とする。 (1) 曲線 C は円である。この円の中心の直交座標と半径を求めよ。 (2) 直線 $\ell$ の極方程式を求めよ。 (3) 円 D の極方程式を求めよ。

1. 問題の内容

極方程式 $r = 2\cos\theta$ で表される曲線を C とする。C 上の点 A, B の極座標がそれぞれ $(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4})$, $(2, 0)$ である。A, B を通る直線を $\ell$ とし、A を中心とし、線分 AB を半径にもつ円を D とする。

(1) 曲線 C は円である。この円の中心の直交座標と半径を求めよ。

(2) 直線 $\ell$ の極方程式を求めよ。

(3) 円 D の極方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 C の極方程式 $r = 2\cos\theta$ を直交座標に変換する。

$r^2 = 2r\cos\theta$ より、

$x^2 + y^2 = 2x$

$x^2 - 2x + y^2 = 0$

$(x - 1)^2 + y^2 = 1$

これは中心が $(1, 0)$ で半径が 1 の円である。

(2) A, B の直交座標を求める。

A の直交座標は $(\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}) = (1, 1)$

B の直交座標は $(2\cos 0, 2\sin 0) = (2, 0)$

直線 $\ell$ の方程式は、傾き $\frac{1 - 0}{1 - 2} = -1$ で、点 $(2, 0)$ を通るので、

$y - 0 = -1(x - 2)$

$y = -x + 2$

$x + y = 2$

これを極方程式に変換する。

$r\cos\theta + r\sin\theta = 2$

$r(\cos\theta + \sin\theta) = 2$

$r = \frac{2}{\cos\theta + \sin\theta}$

両辺に $(\cos\theta + \sin\theta)$ をかけて

$r(\cos\theta + \sin\theta) = 2$

(3) 円 D の中心は A で、半径は AB。

$AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

円 D の方程式は $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 2$

$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$

極座標に変換する。

$r^2 - 2r\cos\theta - 2r\sin\theta = 0$

$r(r - 2\cos\theta - 2\sin\theta) = 0$

$r = 0$ または $r = 2\cos\theta + 2\sin\theta$

$r = 0$ は原点なので、$r = 2\cos\theta + 2\sin\theta$ が円 D の極方程式。

3. 最終的な答え

(1) 中心: $(1, 0)$, 半径: 1

(2) $r(\cos\theta + \sin\theta) = 2$

(3) $r = 2\cos\theta + 2\sin\theta$