三角形ABCにおいて、辺BC上に2点D, Eがあり、BD = 1 cm, DE = 2 cm, EC = 1 cmである。Eを通りADに平行な直線と辺ACとの交点をFとする。ADとBFの交点をGとするとき、AD:GDを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC上に2点D, Eがあり、BD = 1 cm, DE = 2 cm, EC = 1 cmである。Eを通りADに平行な直線と辺ACとの交点をFとする。ADとBFの交点をGとするとき、AD:GDを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ADとEFが平行であることから、相似な三角形を見つけます。

△ADGと△FEGに着目すると、AD//EFより、錯角が等しいので、

$\angle DAG = \angle GEF$

$\angle ADG = \angle EFG$

したがって、△ADG∽△FEGとなります。

次に、相似比を求めます。そのため、EFの長さを求める必要があります。

△ADCと△EFCに着目すると、AD//EFより、

$\angle DAC = \angle FEC$

$\angle ADC = \angle EFC$

したがって、△ADC∽△EFCとなります。

この相似比は、AC:FCとなります。また、この相似比はAD:EFとなります。

ここで、EC:BC = 1:4となるので、EF:AD = EC:BC = 1:4となります。

よって、EF = (1/4)ADとなります。

△ADG∽△FEGなので、AD:EF = DG:EGとなります。

AD:(1/4)AD = DG:EGより、4:1 = DG:EGとなります。

したがって、DG = 4EGとなります。

AD = AG + GDであり、AG:GE = AD:EF = 4:1なので、AG = 4GEとなります。

AD = 4GE + GD = 4GE + 4GE = 8GEとなります。

したがって、AD:GD = 8GE:4GE = 2:1となります。

3. 最終的な答え

AD:GD = 2:1