円Oにおいて、ABは直径であり、点C, Dは円周上の点である。$\angle ABC = 40^\circ$, BD = CDのとき、$\angle ACD$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円Oにおいて、ABは直径であり、点C, Dは円周上の点である。$\angle ABC = 40^\circ$, BD = CDのとき、$\angle ACD$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

* ABは直径なので、$\angle ACB = 90^\circ$

* $\angle BAC = 180^\circ - \angle ACB - \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$

* BD = CDなので、$\stackrel{\frown}{BD} = \stackrel{\frown}{CD}$。したがって、円周角の関係より$\angle CBD = \angle DBC$

* $\angle CBD = \angle DBC$だから、$\angle CBD = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle DBC = \frac{1}{2} \angle CBD$

* $\stackrel{\frown}{BD} = \stackrel{\frown}{CD}$から、$\angle CAD = \angle CBD$.

* $\angle BAC = 50^\circ$ および $\angle CAD = \angle CBD$であるから、$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$

* $\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$ (円に内接する四角形の対角の和)

* $\angle CDB = \angle CBD = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle CBD - \angle BCD)$.

* $\angle CBD = \angle CAD$.

* $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = 40^\circ + \angle CBD = 40^\circ + \angle CAD$

* $\angle ADB = 90^\circ$ (ABが直径なので)

* $\angle BAD = 90^\circ - (40^\circ + \angle CAD)$

* $\angle BAD + \angle CAD = 50^\circ$

* $50^\circ - \angle CAD = \angle BAD$

$\angle ABD = \angle ACD$ より、$50^\circ = 90^\circ - \angle CAD$.

$\angle DAC = \frac{1}{2} \angle DOC$

$\angle DAB = 90^\circ - \angle ABD$

$\stackrel{\frown}{BD} = \stackrel{\frown}{CD}$なので、$\angle DBC = \angle CBD$.

$\angle BOD = 2\angle BCD$

$\angle COD = 2 \angle CAD$

$\angle BOD = \angle COD$なので、$\angle BCD = \angle CAD$

$\angle ABC = 40^\circ$なので、$\angle ACB = 90^\circ$だから、$\angle BAC = 50^\circ$

ここで、$\angle ADB = 90^\circ$であり、$\angle ABD = 40^\circ + \angle DBC = 40^\circ + \angle DAC = \angle ACD$.

$\angle BAD = 90^\circ - \angle ABD$.

$\angle BAC = 50^\circ$.

したがって、$\angle BAD = 90^\circ - \angle ABD$.

よって$\angle ACD = 25^\circ$

3. 最終的な答え

25